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X-ENS MP 2018 — Maths D

Approximation uniforme par des polynômes à coefficients entiers · 8 pages

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Le sujet établit l'existence et l'unicité de la meilleure approximation uniforme par des polynômes de degré au plus $n$ , définit la capacité d'un compact (via les polynômes unitaires de norme minimale et un lemme de type Fekete) et la calcule pour un segment grâce aux polynômes de Tchebychev. Il en déduit que si $b - a \geqslant 4$ , seules les fonctions polynomiales à coefficients entiers sont limites uniformes de tels polynômes, et que si $b - a < 4$ ce sont exactement les fonctions qui coïncident avec un polynôme à coefficients entiers sur un ensemble fini $J(I)$ . Après les polynômes symétriques et les entiers algébriques, il montre par un argument de géométrie des nombres que $J(I)$ est le noyau de Fekete $F(I)$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 — Existence et unicité d'une meilleure approximation p. 1–2

Approximation des fonctions · Compacité · Interpolation polynomiale · Normes équivalentes — meilleure approximation uniforme, équioscillation, norme uniforme, unicité de la meilleure approximation, compacité en dimension finie

Partie 2 — Capacité d'un compact p. 2–3

Suites numériques · Déterminants · Compacité · Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Polynômes — capacité d'un compact, diamètre transfini, suite sous-additive, lemme de Fekete, déterminant de Vandermonde, lemme de Cesàro

Partie 3 — Polynômes de Tchebychev p. 3–4

Polynômes de Tchebychev · Approximation des fonctions · Racines et relations coefficients-racines — polynômes de Tchebychev, polynôme unitaire de norme minimale, extrema de $T_n$ , capacité d'un segment, polynômes à coefficients entiers

Partie 4 — L'approximation par des polynômes à coefficients entiers p. 4–5

Approximation des fonctions · Théorème de Weierstrass · Polynômes · Densité — polynômes à coefficients entiers, théorème de Weierstrass, approximation uniforme, développement en base $r$ d'un polynôme, ensemble $J(I)$

Partie 5 — Polynômes symétriques p. 5–6

Polynômes · Racines et relations coefficients-racines · Groupe symétrique · Anneaux et idéaux — polynômes symétriques, polynômes symétriques élémentaires, ordre lexicographique gradué, théorème fondamental des polynômes symétriques

Partie 6 — Entiers algébriques p. 6–7

Entiers algébriques et équations diophantiennes · Corps et extensions · Polynômes · PGCD, Bézout, Gauss · Nombres premiers · Racines et relations coefficients-racines — entier algébrique, contenu d'un polynôme, lemme de Gauss, conjugués, polynôme minimal, noyau de Fekete

Partie 7 — Le noyau de Fekete p. 7–8

Réseaux euclidiens · Entiers algébriques et équations diophantiennes · Approximation des fonctions · Déterminants · Théorème de Weierstrass — noyau de Fekete, théorème de Minkowski, réseau $\mathbb{Z}^n$ , géométrie des nombres, matrice de Vandermonde