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X-ENS MP 2021 — Maths C

Intersections atypiques · 8 pages

Le sujet montre que le graphe d'une fonction ne rencontre un ensemble « exceptionnel » qu'en peu de points, sauf si la fonction est elle-même exceptionnelle. La partie algébrique décrit les fractions rationnelles qui envoient une infinité de points du cercle unité dans le cercle unité ($X^d$ fois un produit de facteurs de Blaschke) et celles qui envoient les racines de l'unité dans les racines de l'unité (les $cX^d$, avec $c$ racine de l'unité et $d \in \mathbb{Z}$), à l'aide de l'indicatrice d'Euler. La partie analytique établit, pour une fonction transcendante $f$, une borne uniforme du nombre de points du graphe sur une courbe algébrique de degré fixé, une majoration de déterminants de type Vandermonde, puis que le graphe contient au plus $c \cdot n^\varepsilon$ points de $(1/n)\mathbb{Z}^2$ (méthode de Bombieri-Pila).

Le sujet, partie par partie