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X-ENS MPI 2024 — Maths C

Lemme de Cesàro, théorème d'Abel et théorèmes taubériens · 8 pages

Le sujet démontre le lemme de Cesàro et l'applique (limites de racines $n$ -ièmes, produit de Cauchy de séries convergentes), puis établit des réciproques partielles : cas monotone, théorèmes de Hardy faible et fort sous les hypothèses $u_{n+1} - u_n = o(1/n)$ ou $O(1/n)$ . Il démontre ensuite le théorème d'Abel pour les séries entières dans un secteur angulaire, puis les théorèmes taubériens faible et fort de Tauber et Littlewood, ce dernier par approximation polynomiale de Weierstrass. Il termine par les versions continues : moyenne de Cesàro d'une fonction, comportement en $0$ de la transformée de Laplace et calcul de l'intégrale de Dirichlet $\int_0^{+\infty} \sin x/x \,\mathrm{d}x = \pi/2$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 — Lemme de Cesàro, applications et réciproques partielles p. 2–4

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Suites numériques · Familles sommables et produit de Cauchy · Comparaison série-intégrale · Équivalents et comparaison · Séries numériques — lemme de Cesàro, théorème de Hardy, moyennes de Cesàro, produit de Cauchy, racine $n$ -ième de $n$ factorielle, comparaison série-intégrale

Partie 2 — Théorème d'Abel et théorèmes taubériens p. 5–7

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Séries entières · Théorème de Weierstrass · Séries numériques · Nombres complexes · Séries alternées — théorème d'Abel, secteur angulaire, théorème taubérien, théorème de Littlewood, transformation d'Abel, approximation polynomiale de Weierstrass, série de Leibniz

Partie 3 — Variantes continues du lemme de Cesàro et du théorème d'Abel p. 7–8

Intégrales généralisées et intégrabilité · Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre · Continuité · Fonctions spéciales — moyenne de Cesàro d'une fonction, transformée de Laplace, intégrale de Dirichlet, intégration par parties, théorème taubérien continu

Dans l'édifice

Sommation d'Abel et intégrales impropres Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ La demi-droite achevée et les sommes positives Intégrale de Riemann Suites, séries et parties compactes de ℂ Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine La fonction zêta de Riemann et son prolongement