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Agrégation externe 2011 — Mathématiques générales

Similitude entière des matrices · 8 pages

Le problème étudie la similitude des matrices à coefficients entiers par des matrices de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ . Après des préliminaires sur la similitude sur un corps (matrices compagnons, diagonalisabilité, critère de similitude des matrices triangulaires par blocs par l'équation $B = AY - YA'$ ), il montre qu'il n'y a qu'un nombre fini de classes de similitude entière de polynôme caractéristique $X^2 - \delta$ par un argument de réduction, que la diagonalisabilité se conserve modulo $p$ pour presque tout $p$ , et qu'il y a une infinité de classes dès que le polynôme a une racine multiple. Il établit enfin, via la finitude du nombre de classes d'idéaux de $\mathbb{Z}[\alpha]$ et la correspondance entre classes de matrices et classes d'idéaux (théorème de Latimer-MacDuffee), que les matrices entières diagonalisables sur $\mathbb{C}$ de polynôme caractéristique donné forment un nombre fini de classes de similitude entière.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Préliminaires : matrices sur $K$ , polynômes, similitude de matrices blocs p. 1–4

Diagonalisation · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Matrices par blocs · Polynômes · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Racines et relations coefficients-racines · Applications linéaires et rang — matrice compagnon, classes de similitude, matrices triangulaires par blocs, équation de Sylvester $AY - YA'$ , lemme de Gauss sur le contenu, racines simples

Partie II, A et B — Similitude entière, premier exemple et les ensembles $\mathcal{E}_{\mathbb{Z}}(X^2 - \delta)$ p. 4–5

Groupes de matrices · Formes quadratiques binaires entières · PGCD, Bézout, Gauss · Corps finis · Arithmétique des entiers — similitude entière, $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ , réduction modulo $p$ , matrices de trace nulle, réduction de Gauss, nombre fini de classes

Partie II, C et D — Diagonalisabilité modulo $p$ et un résultat de non-finitude p. 5–6

Corps finis · Diagonalisation · Polynômes · PGCD, Bézout, Gauss · Polynômes d'endomorphismes · Nombres premiers — réduction modulo $p$ , clôture algébrique de $\mathbb{F}_p$ , relation de Bézout $P$ et $P'$ , racines multiples, polynôme annulateur scindé à racines simples

Partie III, A et B — Groupes abéliens libres de type fini et classes d'idéaux p. 6–7

Modules et forme normale de Smith · Entiers algébriques et équations diophantiennes · Anneaux et idéaux · Groupes · Réseaux euclidiens · Irrationalité et approximation diophantienne — groupe abélien libre de type fini, $\mathbb{Z}$ -base, théorème de la base adaptée, anneau $\mathbb{Z}[\alpha]$ , classes d'idéaux, finitude du nombre de classes, principe des tiroirs

Partie III, C et D — Classes de similitude et classes d'idéaux, finitude de $\mathcal{D}_{\mathbb{Z}}(P)$ p. 8

Entiers algébriques et équations diophantiennes · Groupes de matrices · Anneaux et idéaux · Modules et forme normale de Smith · Matrices par blocs · Diagonalisation — théorème de Latimer-MacDuffee, vecteur propre à coefficients algébriques, idéal engendré, similitude entière, récurrence sur le degré

Agrégation externe 2011 — Mathématiques générales

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Préliminaires : matrices sur KK, polynômes, similitude de matrices blocs p. 1–4

Partie II, A et B — Similitude entière, premier exemple et les ensembles ℰℤ(X2−δ)\mathcal{E}_{\mathbb{Z}}(X^2 - \delta) p. 4–5

Partie II, C et D — Diagonalisabilité modulo pp et un résultat de non-finitude p. 5–6

Partie III, A et B — Groupes abéliens libres de type fini et classes d'idéaux p. 6–7

Partie III, C et D — Classes de similitude et classes d'idéaux, finitude de 𝒟ℤ(P)\mathcal{D}_{\mathbb{Z}}(P) p. 8

Dans l'édifice

Notations et Partie I — Préliminaires : matrices sur $K$ , polynômes, similitude de matrices blocs p. 1–4

Partie II, A et B — Similitude entière, premier exemple et les ensembles $\mathcal{E}_{\mathbb{Z}}(X^2 - \delta)$ p. 4–5

Partie II, C et D — Diagonalisabilité modulo $p$ et un résultat de non-finitude p. 5–6

Partie III, C et D — Classes de similitude et classes d'idéaux, finitude de $\mathcal{D}_{\mathbb{Z}}(P)$ p. 8