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Agrégation externe 2023 — Mathématiques générales

Endomorphismes nilpotents, partitions et sous-espaces stables · 12 pages

Trois exercices courts portent sur les sous-groupes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , des équations quadratiques modulo 3 et dans $\mathbb{Z}^2$ et $\mathbb{Q}^2$ , et l'adjoint d'une application entre espaces euclidiens. Le problème établit la décomposition en valeurs singulières et la décomposition polaire, classe les matrices réelles de carré nul sous l'action du groupe orthogonal, puis associe à tout endomorphisme nilpotent une partition, son type, qui détermine sa classe de similitude (réduction de Jordan) et se lit sur un diagramme de Ferrers. Il étudie ensuite les matrices semblables à des matrices symétriques (racines carrées polynomiales, nombres de Catalan) et dénombre enfin, sur un corps fini $\mathbb{F}_q$ , les sous-espaces stables d'un nilpotent de type donné, cardinaux qui s'expriment par des polynômes en $q$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Sous-groupes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et groupe des inversibles p. 3

Groupes cycliques et ordre · Congruences et Z/nZ · Groupes — sous-groupes de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , groupe des inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ , groupe non cyclique, ordre d'un élément

Exercice 2 — Équations quadratiques modulo 3, dans $\mathbb{Z}^2$ et dans $\mathbb{Q}^2$ p. 3

Entiers algébriques et équations diophantiennes · Congruences et Z/nZ · Nombres rationnels et décimaux — équation diophantienne, réduction modulo 3, équation $x^2 - 5y^2 = 33$ , solutions rationnelles

Exercice 3 — Adjoint d'une application linéaire entre espaces euclidiens p. 3

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Dualité · Applications linéaires et rang — adjoint, théorème de représentation de Riesz, espace euclidien, application linéaire

Partie I — Décomposition en valeurs singulières et décomposition polaire p. 3–4

Valeurs singulières et conditionnement · Théorème spectral · Matrices orthogonales et rotations · Matrices symétriques positives · Espaces préhilbertiens et euclidiens — valeurs singulières, décomposition en valeurs singulières, décomposition polaire, endomorphisme $u^* \circ u$ , isométrie

Partie II — Matrices réelles de carré nul et partitions p. 5–6

Nilpotents, Jordan, Dunford · Actions de groupes · Partitions et nombres combinatoires · Matrices orthogonales et rotations · Valeurs singulières et conditionnement — matrice de carré nul, orbites sous le groupe orthogonal, partitions d'un entier, diagramme de Ferrers, partition conjuguée, forme réduite

Partie III — Type d'un endomorphisme nilpotent p. 7

Nilpotents, Jordan, Dunford · Sous-espaces stables · Partitions et nombres combinatoires · Applications linéaires et rang · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon — indice de nilpotence, sous-espace cyclique, réduction de Jordan, type d'un nilpotent, dimension des noyaux itérés, classes de similitude

Partie IV — Matrices semblables à une matrice symétrique p. 8–9

Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes · Actions de groupes · Matrices orthogonales et rotations · Interpolation polynomiale · Anneaux et idéaux · Séries formelles · Nombres de Catalan et chemins — décomposition de Dunford, racine carrée d'une matrice, nombres de Catalan, décomposition polaire, orbites du groupe orthogonal, corps algébriquement clos

Partie V — Sous-espaces stables d'un nilpotent sur un corps fini p. 9–11

Corps finis · Sous-espaces stables · Partitions et nombres combinatoires · Dénombrement et combinatoire · Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes — corps fini $\mathbb{F}_q$ , drapeaux, matrices échelonnées réduites, nombre de sous-espaces, ordre de dominance, polynômes de Hall