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CCINP MP 2014 — Maths 1

Intégrale double, raccord de solutions d'une équation différentielle singulière et transformation d'Abel · 8 pages

Le sujet calcule d'abord une intégrale double sur le disque unité, puis étudie la dimension de l'espace des solutions sur $\mathbb{R}$ entier d'une équation $x^2y'' + a(x)y' + b(x)y = 0$ en raccordant les solutions sur les deux demi-droites, avec des exemples où cette dimension vaut 0 ou dépasse 2. Le problème établit la transformation d'Abel, en déduit le critère des séries alternées et la convergence de séries trigonométriques, montre par Parseval que la somme de $\sin(nx)/\sqrt{n}$ n'est pas continue par morceaux, et prouve que la série entière de terme général $z^n/\sqrt{n}$ converge uniformément sur certains compacts du disque fermé touchant le cercle unité.

Le sujet, partie par partie

Premier exercice — Intégrale double sur le disque p. 2

Intégrales multiples — coordonnées polaires, intégrale double, disque unité

Deuxième exercice — Dimension de l'espace des solutions d'une équation $x^2y'' + a(x)y' + b(x)y = 0$ p. 2

Équations linéaires d'ordre 2 · Applications linéaires et rang — raccordement de solutions, équation d'Euler, point singulier, dimension de l'espace des solutions, restriction à un intervalle

Problème, première partie — Convergence de séries par transformation d'Abel p. 2–3

Séries numériques · Séries alternées · Nombres complexes — transformation d'Abel, sommation par parties, critère d'Abel, série de terme général $e^{in\theta}/n^\alpha$ , théorème des séries alternées

Problème, deuxième partie — Convergence uniforme de séries de fonctions p. 3–4

Convergence uniforme et normale · Formule de Parseval · Séries de Fourier · Continuité — transformation d'Abel, convergence uniforme, série de $\sin(nx)/\sqrt{n}$ , coefficients de Fourier, formule de Parseval, fonction continue par morceaux

Problème, troisième partie — Convergence uniforme d'une série entière p. 4–5

Séries entières · Convergence uniforme et normale · Compacité · Topologie, compacité, connexité — série entière de $z^n/\sqrt{n}$ , convergence uniforme sur un compact, rayon de convergence, partie fermée, sommes partielles bornées

Dans l'édifice

Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Applications linéaires Théorème du rang Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Le système trigonométrique est une base hilbertienne Système trigonométrique et coefficients de Fourier Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Compacité Espace topologique Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ