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Centrale-Supélec PC 2014 — Maths 2

Symétries, quaternions et sommes de carrés · 4 pages

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Le sujet étudie les familles de symétries vectorielles complexes qui anticommutent deux à deux (H-systèmes) et détermine leur longueur maximale $p(n)$ en fonction de la valuation 2-adique de $n$ . Il construit les quaternions comme sous-algèbre réelle de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ , en déduit des formules de produit de sommes de 2, 4 et 8 carrés, puis démontre le théorème de Hurwitz : une application bilinéaire $B$ de $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^n$ avec $\|B(X, Y)\| = \|X\|\|Y\|$ n'existe que pour $n = 1, 2, 4, 8$ . Il se termine par des algorithmes (crible d'Ératosthène, sommes de parties) et par une preuve, par les quaternions entiers et une descente, du théorème des quatre carrés de Lagrange.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Symétries vectorielles p. 1–2

Projecteurs et trace · Sous-espaces stables · Matrices par blocs · Réduction des endomorphismes · Espaces vectoriels et dimension · Applications linéaires et rang — symétrie vectorielle, involution, endomorphismes qui anticommutent, H-système, endomorphisme induit, matrices par blocs

Partie II — Quaternions et sommes de quatre carrés p. 2–3

Quaternions · Algèbres et sous-algèbres · Groupes · Calcul matriciel · Nombres complexes · Sommes de carrés — quaternions, anneau à divisions, conjugué d'un quaternion, norme multiplicative, table de multiplication, produit de sommes de carrés

Partie III — Un théorème de Hurwitz p. 3

Matrices orthogonales et rotations · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Quaternions · Nombres complexes · Applications linéaires et rang · Sommes de carrés — théorème de Hurwitz, application bilinéaire, norme euclidienne multiplicative, matrices orthogonales, H-système, sommes de 8 carrés

Partie IV — Représentation des parties de $\mathbb{N}$ et quelques algorithmes p. 3–4

Informatique et algorithmique · Nombres premiers · Sommes de carrés — crible d'Ératosthène, Maple, tableau de 0 et de 1, somme de deux parties, sommes de quatre carrés

Partie V — Sommes de carrés dans un anneau p. 4

Sommes de carrés · Quaternions · Congruences et Z/nZ · Nombres premiers · Anneaux et idéaux · Entiers algébriques et équations diophantiennes — théorème des quatre carrés, Lagrange, quaternions entiers, descente infinie, principe des tiroirs, carrés modulo $p$

Dans l'édifice

Applications linéaires Théorème du rang Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Corps Groupes de Lie et groupes de matrices Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Division euclidienne PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Théorème fondamental de l'arithmétique Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Théorème de définition par récurrence Les anneaux ℤ/nℤ Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme