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Centrale-Supélec PSI 2018 — Maths 2

Moments d'une variable aléatoire, d'une suite et d'une fonction · 4 pages

La partie I définit la fonction génératrice des moments $M_X(t) = \sum m_n(X) t^n/n!$ , montre qu'elle vaut $\mathbb{E}(e^{tX})$ , qu'elle est multiplicative pour des variables indépendantes, et la calcule pour la loi de Poisson, pour une somme de $n$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $\lambda/n$ (loi binomiale de paramètres $n$ et $\lambda/n$ , avec passage à la limite) et pour une loi uniforme. La partie II construit une suite non nulle dont tous les moments $\sum n^p a_n$ sont nuls, à partir du développement en série entière de $\varphi(x) = \exp\left(-x/\sqrt{1-x}\right)$ , des polynômes de Hilbert et d'une formule intégrale de Cauchy. La partie III construit une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ non nulle sur $\mathbb{R}$ dont tous les moments sont nuls.

Le sujet, partie par partie

Préambule et Partie I — Moments d'une variable aléatoire p. 1–2

Espérance, variance, moments · Fonctions génératrices · Loi de Poisson · Familles sommables et produit de Cauchy · Séries entières · Lois de Bernoulli et binomiale · Couples et sommes de variables aléatoires · Problème des moments — fonction génératrice des moments, moment d'ordre $p$ , sommation par paquets, variables indépendantes, loi uniforme, convergence vers la loi de Poisson

Partie II.A — Étude d'une fonction p. 2

Dérivabilité · Continuité · Polynômes — fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ , prolongement de classe $\mathcal{C}^1$ , dérivées successives, fonction plate en un point

Parties II.B et II.C — Développements en série et prolongement dans $\mathbb{C}$ p. 3–4

Problème des moments · Séries entières · Familles sommables et produit de Cauchy · Analyse complexe · Convergence uniforme et normale · Coefficients binomiaux — polynômes de Hilbert, série binomiale, interversion de sommations, formule de Cauchy pour les coefficients, convergence normale, moments nuls

Partie III — Moments d'une fonction p. 4

Problème des moments · Intégrales généralisées et intégrabilité · Dérivabilité · Nombres complexes — fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ , changement de variable, intégrale absolument convergente, problème des moments, moments nuls

Dans l'édifice

Espérance, variance et inégalités Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle La demi-droite achevée et les sommes positives Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Indépendance d'événements et de tribus Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Dérivabilité Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Anneaux de polynômes Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Ensembles finis et principe des tiroirs Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle