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e3a-Polytech MP 2016 — Mathématiques

Commutant d'une matrice symétrique, résolution approchée de $y'' + y = v$ , série de fonctions et intégrale, clients d'un commerçant · 5 pages

Sujet (PDF)

PDF hébergé hors du site officiel — source : vmaths.fr

Le sujet comporte quatre exercices. Le premier diagonalise en base orthonormée une matrice symétrique $A$ d'ordre 3 et montre que son commutant est $\operatorname{Vect}(I_3, A, A^2)$ , qui contient le projecteur orthogonal sur $\operatorname{Ker} A$ . Le deuxième résout de façon approchée $y'' + y = v$ , où $v$ est $2\pi$ -périodique impaire « en triangle », par projection orthogonale sur $\operatorname{Vect}(\sin t, \sin 2t)$ , méthode d'Euler et méthode des rectangles en Python. Le troisième étudie $F(x) = \sum 1/(1 + 4n^2x^2)$ (équivalent en $0^+$ par comparaison série-intégrale) et la relie à $G(x) = \int \sin t/(e^{2xt} - 1)\,\mathrm{d}t$ ; le quatrième étudie des ventes de deux produits quand le nombre de clients suit une loi de Poisson (indépendance de $X$ et $Y$ , loi du maximum, calcul en Python de la probabilité de rupture de stock).

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Réduction et commutant d'une matrice symétrique p. 2

Théorème spectral · Polynômes d'endomorphismes · Diagonalisation · Projection orthogonale et moindres carrés · Espaces vectoriels et dimension — commutant, matrice symétrique réelle, diagonalisation en base orthonormée, projecteur orthogonal, valeurs propres simples, $\operatorname{Vect}(I_3, A, A^2)$

Exercice 2 — Résolution approchée de $y'' + y = v$ p. 2–4

Projection orthogonale et moindres carrés · Équations linéaires d'ordre 2 · Schémas numériques pour les équations différentielles · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Sommes de Riemann et méthodes de quadrature · Informatique et algorithmique · Séries de Fourier — produit scalaire intégral, famille orthogonale des sinus, projeté orthogonal, méthode d'Euler, méthode des rectangles, Python, fonction impaire $2\pi$ -périodique

Exercice 3 — Série de fonctions $F$ et intégrale $G$ p. 4–5

Suites et séries de fonctions · Comparaison série-intégrale · Intégrales à paramètre · Interversion des limites · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équivalents et comparaison — série de fonctions, classe $\mathcal{C}^1$ , comparaison série-intégrale, équivalent en $0$ , intégration terme à terme, transformée de Laplace du sinus

Exercice 4 — Ventes de deux produits et loi de Poisson p. 5

Loi de Poisson · Couples et sommes de variables aléatoires · Lois de Bernoulli et binomiale · Covariance et corrélation · Conditionnement et indépendance · Informatique et algorithmique — loi de Poisson, loi binomiale conditionnelle, loi conjointe, indépendance, covariance, maximum de deux variables, rupture de stock

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires Anneaux de polynômes Matrices d'une application linéaire Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de Cauchy-Lipschitz local Théorème de représentation de Riesz Intégrale de Riemann Théorème de définition par récurrence Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Suites réelles et limites Lois de Poisson et loi exponentielle Indépendance d'événements et de tribus Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités