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e3a-Polytech MP 2024 — Mathématiques

Partie entière d'une loi géométrique, série entière $\sum \cos(n)x^n/n$ , matrice vérifiant $A^\top = 3A^2 - A - I$ , produit de convolution · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Quatre exercices indépendants. Le premier détermine la loi de $\lfloor (X + 1)/2 \rfloor$ pour $X$ de loi géométrique. Le deuxième calcule le rayon de convergence et la somme de la série entière $\sum \cos(n)x^n/n$ en passant par la série $\sum e^{in}x^n$ . Le troisième montre qu'une matrice réelle vérifiant $A^\top = 3A^2 - A - I$ est diagonalisable grâce à un polynôme annulateur, exprime ses puissances à l'aide des polynômes de Lagrange et prouve que la suite $(A^k)$ converge vers un projecteur. Le quatrième étudie le produit de convolution de fonctions bornées et intégrables : régularité, approximation de l'identité et norme subordonnée de l'opérateur $h \mapsto h * g$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Partie entière d'une variable géométrique p. 2

Loi géométrique · Espaces probabilisés — loi géométrique, partie entière, loi d'une variable image, réunion d'événements incompatibles

Exercice 2 — La série entière $\sum \cos(n)x^n/n$ p. 2–3

Séries entières · Nombres complexes · Séries numériques · Suites numériques — rayon de convergence, suite $\cos(n)$ , série divergente, série géométrique complexe, dérivation terme à terme, somme d'une série entière

Exercice 3 — Matrice vérifiant $A^\top = 3A^2 - A - I$ p. 3

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Interpolation polynomiale · Matrices symétriques positives · Racines et relations coefficients-racines · Suites numériques — polynôme annulateur, transposée, matrice symétrique positive, polynômes de Lagrange, division euclidienne de $X^k$ , limite des puissances d'une matrice, projecteur

Exercice 4 — Produit de convolution p. 4–5

Intégrales généralisées et intégrabilité · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Continuité · Intégrales à paramètre · Approximation des fonctions — produit de convolution, fonction lipschitzienne, uniforme continuité, approximation de l'identité, norme subordonnée, norme infinie et norme 1

Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Espaces de Hilbert et théorème de projection Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Applications linéaires continues et dual topologique Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Densité des fonctions en escalier et continuité des translations