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X-ENS MP 2013 — Maths D

Polynômes hyperboliques · 8 pages

Un polynôme homogène $p$ de degré $d$ sur un espace réel est hyperbolique dans la direction $a$ si $p(a) \neq 0$ et si $t \mapsto p(ta - x)$ n'a que des racines réelles $\lambda_1(x; a) \leqslant \dots \leqslant \lambda_d(x; a)$ . Après des exemples (déterminant sur les matrices symétriques, formes de Lorentz, polynômes symétriques élémentaires), le sujet montre la continuité des racines, la convexité du cône $C(p; a)$ et son indépendance par rapport à la direction choisie dans le cône, d'abord dans le cas strictement hyperbolique puis en général par une analyse locale des racines. Il en déduit l'inégalité de Gårding, la concavité de $p^{1/d}$ sur le cône, une minoration du permanent et des inégalités de Weyl sur les $\lambda_j(x + y)$ .

Le sujet, partie par partie

Préambule, définition et Partie I — Exemples p. 1–2

Suites de Sturm et comptage des racines · Polynômes · Formes bilinéaires et quadratiques · Théorème spectral · Calcul différentiel · Déterminants — polynôme homogène, polynôme hyperbolique, identité d'Euler, polynômes symétriques élémentaires, forme de Lorentz, racines réelles, théorème de Rolle

Partie II — Continuité des racines p. 3

Continuité · Suites de Sturm et comptage des racines · Compacité — continuité des racines, suites extraites, caractérisation séquentielle de la continuité, racines bornées

Partie III — Le cône du futur p. 3

Ensembles convexes · Suites de Sturm et comptage des racines · Fonctions convexes · Continuité — cône convexe, polynôme strictement hyperbolique, fonction concave, partie étoilée, monotonie des racines

Partie IV — Le cas général p. 4–5

Suites de Sturm et comptage des racines · Analyse complexe · Polynômes · Nombres complexes — lemme de Rouché, multiplicité d'une racine, polynômes à deux variables, polygone de Newton, racines de l'unité

Partie V — L'inégalité de Gårding sur le cône $C(p; a)$ p. 5–6

Inégalités classiques · Inégalité arithmético-géométrique · Formes bilinéaires et quadratiques · Groupe symétrique — inégalité de Gårding, forme multilinéaire symétrique, forme polaire, inégalité de Cauchy-Schwarz inversée, permanent, minoration du permanent

Partie VI — Concavité de $p^{1/d}$ sur le cône $C(p; a)$ p. 6

Fonctions convexes · Matrices symétriques positives · Déterminants — concavité de $p^{1/d}$ , inégalité de Minkowski pour le déterminant, matrices symétriques définies positives, cône convexe

Partie VII — Inégalités de Weyl p. 7–8

Entrelacement et inégalités spectrales · Suites de Sturm et comptage des racines · Dénombrement et combinatoire — inégalités de Weyl, valeurs propres d'une somme, valeurs intermédiaires, comptage de racines