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Agrégation externe 2011 — Analyse et probabilités

Applications lipschitziennes entre espaces normés, théorèmes de Mazur-Ulam et de Figiel · 8 pages

Le problème étudie les applications lipschitziennes et les isométries non linéaires entre espaces normés. Après des préliminaires (prolongement, régularisation par convolution gaussienne), il montre qu'une isométrie à valeurs dans un préhilbertien fixant $0$ est linéaire, établit le théorème de Hahn-Banach dans un espace normé séparable et un résultat d'extraction diagonale dans le dual, prouve à l'aide du lemme de Baire que les points de différentiabilité d'une fonction convexe sur $\mathbb{R}^n$ forment une partie dense, puis démontre le théorème de Figiel et celui de Mazur-Ulam ; il conclut que si un Banach séparable $X$ se plonge isométriquement dans un Banach $Y$ , alors $Y$ contient un sous-espace fermé linéairement isométrique à $X$ (Godefroy-Kalton).

Le sujet, partie par partie

Rappels et Partie I — Préliminaires p. 1–2

Espaces vectoriels normés · Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre · Convergence uniforme et normale · Intégrales multiples · Espaces de Banach et analyse fonctionnelle — application lipschitzienne, prolongement par densité, suite de Cauchy, noyau gaussien, convolution, régularisation, approximation uniforme par fonctions $\mathcal{C}^1$

Partie II — Isométries et linéarité p. 2–3

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Espaces vectoriels normés · Ensembles convexes — isométrie non linéaire, norme infinie, stricte convexité de la norme euclidienne, cas d'égalité de l'inégalité triangulaire, isométrie linéaire

Partie III — Dualité des espaces normés p. 3–4

Espaces de Banach et analyse fonctionnelle · Dualité · Espaces vectoriels normés · Compacité · Densité — théorème de Hahn-Banach, espace dual, espace séparable, bidual, injection canonique, extraction diagonale, forme linéaire de norme 1

Partie IV — Différentiabilité des fonctions convexes p. 4–5

Fonctions convexes · Calcul différentiel · Densité · Ensembles et dénombrabilité · Topologie, compacité, connexité — inégalité des pentes, dérivées à gauche et à droite, lemme de Baire, intersection dénombrable d'ouverts denses, différentiabilité d'une norme, dérivées partielles

Partie V — Le théorème de Figiel p. 5–6

Espaces de Banach et analyse fonctionnelle · Espaces vectoriels normés · Dualité · Calcul différentiel · Normes subordonnées et applications linéaires continues — théorème de Figiel, théorème de Mazur-Ulam, isométrie surjective, inverse à gauche linéaire, différentielle de la norme, base duale

Partie VI — Le résultat principal p. 6–8

Espaces de Banach et analyse fonctionnelle · Dualité · Espaces vectoriels normés · Intégrales multiples · Normes subordonnées et applications linéaires continues — espace des fonctions lipschitziennes, norme de Lipschitz, bidual, opérateur de moyennisation, plongement isométrique, sous-espace fermé linéairement isométrique, théorème de Godefroy-Kalton

Dans l'édifice

Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Théorème de Banach-Steinhaus Théorème de Hahn-Banach Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Espace dual Compacité Intérieur, adhérence Dérivabilité Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Équipotence et comparaison des ensembles Théorème de Cantor-Bernstein ℕ × ℕ, ℤ et ℚ sont dénombrables Espace topologique Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ