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Agrégation externe 2018 — Mathématiques générales

Décomposition de Dunford, exponentielle de matrices et groupes de Picard-Vessiot · 8 pages

Le sujet établit la décomposition multiplicative d'une matrice inversible en produit commutant d'une matrice diagonalisable et d'une matrice unipotente, définit $f(S)$ pour $S$ diagonalisable par interpolation et démontre la surjectivité de $\exp : \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ grâce aux polynômes tronqués $E_n$ et $L_n$ de l'exponentielle et du logarithme. Il étudie ensuite la fonction matricielle $z^A = \exp((\log z)A)$ sur $\mathbb{C}$ privé de $\mathbb{R}_-$ , solution de $\delta X = AX$ pour la dérivation d'Euler $\delta = z \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}$ , et sa monodromie, représentation de $\mathbb{Z}$ . Il décrit enfin le groupe des automorphismes différentiels de l'algèbre engendrée par les $z^{\alpha_i}$ et $\log$ , isomorphe au produit du dual de $G$ par $\mathbb{C}$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Exercices préliminaires p. 1–3

Nilpotents, Jordan, Dunford · Exponentielle de matrices · Interpolation polynomiale · Représentations des groupes finis · Groupes — décomposition de Dunford, exponentielle de matrice, polynôme d'interpolation, représentation de $\mathbb{Z}$ , groupe des morphismes vers $\mathbb{C}^*$

Partie II — La décomposition de Dunford p. 3–4

Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes · Interpolation polynomiale · Diagonalisation · Trigonalisation · Matrices par blocs · Séries entières — décomposition de Dunford, décomposition multiplicative, matrice unipotente, commutateur, fonction d'une matrice diagonalisable, polynôme interpolateur

Partie III — L'exponentielle $\exp : \mathcal{M}_n(\mathbb{C}) \to \mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ est surjective p. 4

Exponentielle de matrices · Nilpotents, Jordan, Dunford · Interpolation polynomiale · Développements limités · Polynômes — surjectivité de l'exponentielle, logarithme d'une matrice unipotente, congruences de polynômes, matrices nilpotentes et unipotentes, développement de Taylor

Partie IV — La fonction matricielle $z^A$ et sa monodromie p. 5–6

Analyse complexe · Exponentielle de matrices · Systèmes différentiels linéaires · Représentations des groupes finis · Nilpotents, Jordan, Dunford · Déterminants — détermination principale du logarithme, dérivation d'Euler, monodromie, équation différentielle matricielle, représentation de $\mathbb{Z}$

Partie V — Algèbres différentielles et automorphismes différentiels p. 6–7

Algèbres et sous-algèbres · Espaces vectoriels et dimension · Analyse complexe · Groupes · Représentations des groupes finis — algèbre différentielle, dérivation, famille libre de fonctions, indépendance algébrique du logarithme, automorphismes différentiels

Partie VI — Groupes et représentations de Picard-Vessiot p. 7–8

Groupes · Représentations des groupes finis · Algèbres et sous-algèbres · Analyse complexe — groupe de Picard-Vessiot, groupe abélien de type fini, groupe des caractères, produit direct, isomorphisme de groupes, théorie de Galois différentielle