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Agrégation externe 2025 — Analyse et probabilités

Opérateur d'intégration, intégrales fractionnaires et opérateurs de Hilbert-Schmidt · 12 pages

Le sujet étudie l'opérateur de Volterra $f \mapsto \int_0^x f$ sur $\mathcal{C}([0,1])$ puis sur $L^2(0,1)$ : continuité, valeurs propres, compacité, calcul exact de sa norme grâce à une base hilbertienne de cosinus. Il introduit ensuite le semi-groupe des intégrales fractionnaires $V_s$ , montre qu'elles sont compactes, obtient par intégration sur un contour complexe un équivalent asymptotique qui montre que $V_s$ n'est de Hilbert-Schmidt que si $s > 1/2$ (la réciproque venant du critère du noyau $L^2$ ), et établit que $V_s$ est somme d'une série absolument convergente d'opérateurs de rang 1 si et seulement si $s > 1$ .

Le sujet, partie par partie

Rappels et notations, I — Préliminaires p. 2–4

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Opérateurs et théorie spectrale · Équations différentielles linéaires · Intégrale sur un segment · Normes subordonnées et applications linéaires continues — adjoint d'un opérateur, norme d'opérateur, opérateur diagonal, base hilbertienne, égalité $\|T^*T\| = \|T\|^2$

II — Fonctions $\Gamma$ et $B$ p. 5–6

Fonctions Gamma et Bêta · Intégrales à paramètre · Analyse complexe · Équivalents et comparaison · Intégrales multiples — fonction Gamma, fonction Bêta, relation entre Gamma et Bêta, intégration sur un contour, détermination principale du logarithme, équivalent d'une intégrale oscillante, changement de variables

III — L'opérateur d'intégration sur $\mathcal{C}([0,1])$ p. 6–7

Opérateurs et théorie spectrale · Espaces vectoriels normés · Équations différentielles linéaires · Compacité — opérateur d'intégration, opérateur de Volterra, opérateur compact, valeurs propres, primitives itérées, théorème d'Ascoli

IV — L'opérateur d'intégration sur $L^2(0,1)$ p. 7–8

Opérateurs et théorie spectrale · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Séries de Fourier · Équations différentielles linéaires — opérateur de Volterra, norme de l'opérateur d'intégration, valeurs propres de $V^*V$ , base hilbertienne de cosinus, coefficients de Fourier

V — Un semi-groupe d'opérateurs p. 8–9

Opérateurs et théorie spectrale · Fonctions Gamma et Bêta · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Approximation des fonctions — intégrale fractionnaire de Riemann-Liouville, semi-groupe d'opérateurs, produit de convolution, inégalité de Young, limite d'opérateurs compacts, opérateurs de rang fini

VI — Opérateurs de Hilbert-Schmidt p. 9–10

Opérateurs et théorie spectrale · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Équivalents et comparaison — opérateur de Hilbert-Schmidt, opérateur à noyau intégral, noyau $L^2$ , opérateurs de rang 1, série d'opérateurs absolument convergente

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Suites réelles et limites Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Compacité Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Densité des fonctions en escalier et continuité des translations