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Agrégation externe 2026 — Mathématiques générales

Laplacien des graphes, croissance des groupes et marche au hasard sur le groupe libre · 16 pages

Le sujet définit le laplacien d'un graphe et l'étudie sur des graphes finis (complet, étoile, cycle, chemin) puis infinis, en lien avec les fonctions harmoniques. Il étudie la croissance des graphes de Cayley (groupe de Heisenberg discret, groupe libre $\mathrm{F}_2$ ), montre que la marche au hasard sur $\mathrm{F}_2$ s'échappe à vitesse $1/2$ presque sûrement, construit le bord compact de l'arbre et résout un problème de Dirichlet.

Le sujet, partie par partie

I–II — Préliminaire et premiers exemples p. 2–3

Théorème spectral · Matrices remarquables · Procédé de Gram-Schmidt · Déterminants · Diagonalisation — matrice $J_3$ , graphe complet, graphe étoile, théorème spectral, déterminant

III–IV — Graphes et laplacien p. 4–5

Graphes · Opérateurs et théorie spectrale · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Topologie, compacité, connexité — laplacien discret, fonctions harmoniques, espace $\ell^2$ , opérateur autoadjoint, distance de graphe, connexité

V — Cas fini p. 5–6

Graphes · Matrices remarquables · Diagonalisation · Nombres complexes — matrice laplacienne, graphe cyclique, graphe chemin, racines de l'unité, noyau du laplacien

VI–VII — Graphes de Cayley et croissance ; groupe de Heisenberg p. 7–8

Graphes de Cayley et croissance des groupes · Graphes · Dénombrement et combinatoire · Groupes de matrices · Équivalents et comparaison — graphe de Cayley, croissance d'un groupe, groupe de Heisenberg discret, croissance polynomiale

VIII — Groupe libre p. 8–9

Graphes de Cayley et croissance des groupes · Graphes · Dénombrement et combinatoire — groupe libre, arbre régulier, mot réduit, fonction de Busemann, fonctions harmoniques

IX — Marche au hasard et vitesse de fuite p. 10–11

Marches aléatoires · Inégalités de concentration · Lois de Bernoulli et binomiale · Lemme de Borel-Cantelli et événements asymptotiques · Lois des grands nombres et théorèmes limites — marche aléatoire sur un arbre, vitesse de fuite, inégalité de Hoeffding, transience, convergence presque sûre

X–XII — Compactification, sortie de la marche et problème de Dirichlet p. 11–12

Compacité · Marches aléatoires · Connexité · Densité · Théorie de la mesure · Actions de groupes — distance ultramétrique, bord de l'arbre, espace totalement discontinu, mesure harmonique, problème de Dirichlet

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Théorème de représentation de Riesz Espace topologique Compacité Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Groupes Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Suites réelles et limites Indépendance d'événements et de tribus Moments exponentiels et inégalité de Hoeffding Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lemmes de Borel-Cantelli Loi du 0-1 de Kolmogorov Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass