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Agrégation interne 2023 — Épreuve 1

Introduction aux nombres $p$ -adiques · 14 pages

Après un vrai-faux et deux exercices préliminaires (cardinal de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ , égalité $n = \sum_{d \mid n} \varphi(d)$ et cyclicité du groupe multiplicatif d'un corps fini), le problème définit la valuation et la valeur absolue $p$ -adiques, puis construit l'anneau $\mathbb{Z}_p$ des entiers $p$ -adiques comme suites compatibles, son corps des fractions $\mathbb{Q}_p$ et sa topologie (densité de $\mathbb{Z}$ , complétude). Il en déduit que l'ensemble des zéros d'une suite récurrente linéaire à coefficients entiers est, par classes de congruence, fini ou égal à $\mathbb{N}$ , et utilise l'exponentielle et le logarithme $p$ -adiques pour montrer que $(\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z})^*$ est cyclique lorsque $p$ est impair.

Le sujet, partie par partie

Vrai-faux et exercices préliminaires p. 5–7

Corps finis · Groupes cycliques et ordre · Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius · Dénombrement et combinatoire · Espaces vectoriels et dimension · Congruences et Z/nZ — indicatrice d'Euler, cardinal de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ , groupe multiplicatif d'un corps fini, $n =$ somme des $\varphi(d)$ , familles libres sur un corps fini

Partie I — Valuation et valeur absolue $p$ -adiques p. 7–9

Nombres p-adiques et valuations · Nombres premiers · Coefficients binomiaux · Arithmétique des entiers · Espaces vectoriels normés · Dénombrement et combinatoire — valuation $p$ -adique, formule de Legendre, valuation $2$ -adique de $n!$ , coefficients binomiaux pairs, valeur absolue $p$ -adique, distance ultramétrique

Partie II — Les entiers $p$ -adiques p. 9–12

Nombres p-adiques et valuations · Anneaux et idéaux · Topologie, compacité, connexité · Congruences et Z/nZ · Corps et extensions · Densité · Séries numériques — entiers $p$ -adiques, corps des nombres $p$ -adiques, idéaux de $\mathbb{Z}_p$ , anneau intègre, suite de Cauchy, complétude

Partie III — Termes nuls d'une suite récurrente linéaire p. 12

Suites récurrentes linéaires · Nombres p-adiques et valuations · Calcul matriciel · Congruences et Z/nZ · Séries numériques · Anneaux et idéaux — théorème de Skolem-Mahler-Lech, zéros d'une suite récurrente linéaire, réduction modulo $p$ , matrice inversible

Partie IV — Exponentielle $p$ -adique et application p. 13–14

Nombres p-adiques et valuations · Groupes cycliques et ordre · Congruences et Z/nZ · Anneaux et idéaux · Séries numériques · Groupes — exponentielle $p$ -adique, logarithme $p$ -adique, groupe des inversibles de $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ , générateur, isomorphisme de groupes

Dans l'édifice

Corps finis Sous-groupes Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1 Théorème fondamental de l'arithmétique Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Les anneaux ℤ/nℤ Complétude de ℝ Division euclidienne PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux Espace topologique Compacité Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ Corps Extensions de corps et multiplicativité des degrés Éléments algébriques et polynôme minimal Corps de décomposition Intérieur, adhérence