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CAPES externe 2019 — Écrit disciplinaire

Quaternions et rotations ; lois géométriques et absence de mémoire ; base 3 équilibrée et compilation · 19 pages

L'option mathématiques comporte deux problèmes. Le premier étudie les rotations et translations du plan par les nombres complexes, construit le centre d'une composée de rotations par décomposition en symétries axiales, puis introduit les quaternions comme matrices $M(a, b)$ de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ , leur norme multiplicative et la représentation des rotations vectorielles de $\mathbb{R}^3$ par $q \mapsto pqp^{-1}$ pour $p$ unitaire. Le second calcule des sommes de séries entières dérivées de $\sum x^n$ pour obtenir espérance et variance de la loi géométrique, étudie deux archers et la loi du nombre de succès $G$ , puis caractérise les lois géométriques par l'absence de mémoire et par un taux de panne constant. L'option informatique traite en Python l'écriture des entiers en base 3 équilibrée et les chemins de Delannoy, puis l'ordre topologique d'un graphe de dépendances, la durée de vie des variables et la coloration gloutonne d'un graphe de coexistence.

Le sujet, partie par partie

Option mathématiques, Problème 1, Partie A — Rotations et translations du plan p. 3–4

Géométrie affine et euclidienne · Nombres complexes · Groupes — rotation, translation, écriture complexe, composée de rotations, point fixe, groupe des rotations et translations

Option mathématiques, Problème 1, Partie B — Une construction géométrique p. 4

Géométrie affine et euclidienne · Isométries et groupe orthogonal — symétrie orthogonale, composée de deux réflexions, angle orienté, centre d'une composée de rotations, construction à la règle et au compas

Option mathématiques, Problème 1, Partie C — Structure des quaternions p. 4–5

Quaternions · Espaces vectoriels et dimension · Algèbres et sous-algèbres · Calcul matriciel — quaternions, base $E$ $I$ $J$ $K$ , table de multiplication, centre d'une algèbre, algèbre non commutative, inverse

Option mathématiques, Problème 1, Partie D — Conjugué, parties réelle et imaginaire d'un quaternion p. 5

Quaternions · Calcul matriciel — quaternion conjugué, quaternions purs, matrice adjointe, norme multiplicative

Option mathématiques, Problème 1, Partie E — Norme sur $\mathbb{H}$ p. 5–6

Quaternions · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Géométrie affine et euclidienne — norme euclidienne, produit scalaire associé, produit vectoriel, isométrie, quaternions purs

Option mathématiques, Problème 1, Partie F — Quaternions unitaires et rotations vectorielles p. 6–7

Quaternions · Matrices orthogonales et rotations · Groupes · Applications linéaires et rang — quaternions unitaires, rotation vectorielle, axe et angle, conjugaison par un quaternion unitaire, composée de rotations, base orthonormée directe

Option mathématiques, Problème 2, Partie A — Quelques études de séries p. 8–9

Séries entières · Loi géométrique · Coefficients binomiaux · Espérance, variance, moments — série géométrique dérivée, rayon de convergence, dérivation terme à terme, espérance et variance de la loi géométrique

Option mathématiques, Problème 2, Partie B — Étude d'une séance de tir à l'arc p. 9–10

Loi géométrique · Couples et sommes de variables aléatoires · Probabilités totales et formule de Bayes · Lois de Bernoulli et binomiale · Séries entières · Espérance, variance, moments — temps du premier succès, absence de mémoire, formule des probabilités totales, comparaison de deux variables, loi binomiale conditionnelle

Option mathématiques, Problème 2, Partie C — Étude d'une variable discrète sans mémoire p. 10

Loi géométrique · Conditionnement et indépendance · Suites numériques — variable sans mémoire, caractérisation de la loi géométrique, suite géométrique, probabilité conditionnelle

Option mathématiques, Problème 2, Partie D — Taux de panne d'une variable discrète p. 10–11

Loi géométrique · Séries numériques · Conditionnement et indépendance · Produits infinis — taux de panne, fonction de survie, série de logarithmes, taux de panne constant, caractérisation de la loi géométrique

Option informatique, Problème 1, Parties I et II — Base 3 équilibrée : généralités, existence et unicité p. 12–13

Informatique et algorithmique · Numération et écriture en base b · Arithmétique des entiers · Congruences et Z/nZ — base 3 équilibrée, division euclidienne, fonction récursive, Python, unicité de l'écriture, récurrence

Option informatique, Problème 1, Partie III — Chemins de Delannoy p. 13–14

Informatique et algorithmique · Numération et écriture en base b · Arithmétique des entiers — chemins de Delannoy, base 3 équilibrée, chemins dans un réseau, Python

Option informatique, Problème 2, Partie A — Ordre topologique sur un graphe p. 14–16

Graphes · Informatique et algorithmique — tri topologique, graphe orienté acyclique, cycle, principe des tiroirs, terminaison, fonction récursive

Option informatique, Problème 2, Partie B — Allocation de registres p. 17–18

Informatique et algorithmique — compilation, durée de vie des variables, allocation de registres, analyse de vivacité, Python

Option informatique, Problème 2, Partie C — Graphe de coexistence p. 18–19

Graphes · Informatique et algorithmique — coloration de graphe, algorithme glouton, NP-complétude, nombre chromatique, liste d'adjacence

Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Corps Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Matrices d'une application linéaire Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Applications linéaires Théorème du rang Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Ensembles finis et principe des tiroirs Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass