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CCINP MP 2020 — Maths 1

Développements ternaires et fonction de Cantor-Lebesgue · 8 pages

Le problème montre que tout réel de $\left[0, 1\right[$ admet un développement ternaire propre, la somme des $t_n/3^n$ définissant une forme linéaire continue sur l'espace des suites bornées, avec des fonctions Python de conversion et de contrôle de parité. Il étudie ensuite la fonction $\varphi(x)$ , somme des $(1 + \sin(nx))/3^n$ , pour calculer une intégrale, puis des développements ternaires aléatoires dont il prouve la convergence en probabilité vers $1$ . Il construit enfin la fonction de Cantor-Lebesgue comme limite uniforme d'une suite de fonctions et établit qu'elle est continue, croissante et surjective sur $[0, 1]$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Développement ternaire p. 2–3

Nombres rationnels et décimaux · Espaces vectoriels normés · Suites numériques · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Séries numériques · Informatique et algorithmique — développement ternaire propre, espace des suites bornées, forme linéaire continue, suites adjacentes, partie entière, Python

Partie II — Étude d'une fonction définie par une série p. 3–4

Suites et séries de fonctions · Intégrale sur un segment · Nombres complexes · Convergence uniforme et normale · Interversion des limites · Séries numériques — série de fonctions de classe $\mathcal{C}^1$ , convergence normale, série géométrique complexe, intégration terme à terme, intégrale de $\sin(x)/(10 - 6 \cos(x))$

Partie III — Développements ternaires aléatoires p. 4–5

Espérance, variance, moments · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Lois des grands nombres et théorèmes limites · Variables aléatoires et lois usuelles — variables aléatoires indépendantes, variance d'une somme, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, convergence en probabilité

Partie IV — Fonction de Cantor-Lebesgue p. 5

Convergence uniforme et normale · Continuité · Informatique et algorithmique · Suites numériques — fonction de Cantor-Lebesgue, escalier du diable, convergence uniforme, fonction récursive, fonction croissante continue surjective

Dans l'édifice

ℚ, corps des fractions de ℤ ℚ est archimédien et dense Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Théorème de définition par récurrence Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Espérance, variance et inégalités Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine