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CCINP PC 2025 — Mathématiques

Endomorphisme de multiplication, polynômes de Hermite et tirages dans une urne · 8 pages

Trois exercices indépendants. Le premier étudie l'endomorphisme $M \mapsto AM$ de l'espace des matrices et montre qu'il est diagonalisable si et seulement si $A$ l'est, avec les mêmes valeurs propres. Le deuxième construit les polynômes de Hermite, établit leur orthogonalité pour le poids gaussien (après un calcul de l'intégrale de Gauss par intégrales à paramètre), leur série génératrice exponentielle et une représentation intégrale. Le troisième étudie une urne dont on enrichit le contenu en boules blanches et caractérise par une série le fait de ne tirer que des boules blanches avec probabilité nulle.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Étude d'un endomorphisme matriciel p. 2–3

Diagonalisation · Polynômes d'endomorphismes · Calcul matriciel · Déterminants · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — endomorphisme $M \mapsto AM$ , polynôme annulateur, diagonalisabilité, sous-espaces propres, valeurs propres, théorème de Cayley-Hamilton

Exercice 2, Partie I — Produit scalaire et intégrale de Gauss p. 4

Intégrales à paramètre · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Intégrales généralisées et intégrabilité — intégrale de Gauss, produit scalaire à poids gaussien, dérivation sous l'intégrale, intégrabilité

Exercice 2, Parties II et III — Polynômes de Hermite, série génératrice p. 5–6

Polynômes de Hermite · Séries entières · Fonctions génératrices · Convergence uniforme et normale · Interversion des limites · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Nombres complexes — polynômes de Hermite, base orthogonale, série génératrice exponentielle, rayon de convergence infini, représentation intégrale, convergence normale

Exercice 3 — Succession de tirages dans une urne p. 7–8

Conditionnement et indépendance · Produits infinis · Processus de branchement et urnes · Espaces probabilisés · Équivalents et comparaison · Séries numériques · Suites numériques — urne, probabilité conditionnelle, continuité décroissante, produit infini, $\ln(S_k/(S_k+1))$ et $1/S_k$ de même nature, formule des probabilités composées

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Anneaux de polynômes Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Indépendance d'événements et de tribus Suites, séries et parties compactes de ℂ Martingales et temps d'arrêt Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles Suites réelles et limites La demi-droite achevée et les sommes positives Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ