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Centrale-Supélec MP 2025 — Maths 1

Irrationalité de $\zeta(2)$ · 6 pages

Le sujet démontre l'irrationalité de $\zeta(2)$ par la méthode de Beukers. Il encadre d'abord la fonction de comptage des nombres premiers à l'aide des coefficients binomiaux centraux, en déduit que le PPCM des entiers de $1$ à $n$ est au plus $3^n$ à partir d'un certain rang, grâce au théorème des nombres premiers (admis), établit un critère d'irrationalité par approximation rationnelle, puis exprime des intégrales doubles comme combinaisons de $\zeta(2)$ et de rationnels de dénominateur contrôlé. Il conclut sur l'irrationalité de $\zeta(2)$ , puis de $\pi$ .

Le sujet, partie par partie

Partie A — Un encadrement de la fonction $\pi$ p. 1–3

Nombres premiers · Théorie analytique des nombres · Coefficients binomiaux · Développements asymptotiques — fonction de comptage des nombres premiers, coefficients binomiaux centraux, valuation $p$ -adique, formule de Legendre, inégalités de Tchebychev, théorème des nombres premiers

Partie B — Une majoration d'un PPCM p. 3

PGCD, Bézout, Gauss · Nombres premiers · Théorie analytique des nombres · Anneaux et idéaux — PPCM des premiers entiers, idéaux de $\mathbb{Z}$ , valuation $p$ -adique, théorème des nombres premiers

Partie C — Un critère d'irrationalité p. 3–4

Irrationalité et approximation diophantienne · Séries numériques · Suites numériques — critère d'irrationalité, approximation rationnelle, nombre de Liouville, $\zeta(2)$ , PPCM

Partie D — Calcul d'une intégrale double p. 4–5

Intégrales multiples · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries numériques · Intégrales à paramètre · Fractions rationnelles · Théorèmes de convergence intégrale — intégrale double, intégrale de Beukers, interversion série intégrale, décomposition en éléments simples, nombres harmoniques, série télescopique

Partie E — Une démonstration de l'irrationalité de $\zeta(2)$ p. 5–6

Irrationalité et approximation diophantienne · Intégrales multiples · Polynômes de Legendre · Fonction zêta de Riemann · PGCD, Bézout, Gauss · Extrema et optimisation — irrationalité de $\zeta(2)$ , méthode de Beukers, polynômes de Legendre décalés, formule de Rodrigues, intégration par parties répétée, irrationalité de $\pi$

Dans l'édifice

Théorème fondamental de l'arithmétique Théorie analytique des nombres La fonction zêta de Riemann et son prolongement Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1 Le théorème des nombres premiers Ensembles finis et principe des tiroirs Dérivabilité PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure Un corps ordonné complet est archimédien Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Corps des fractions d'un anneau intègre Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)Lemme de Fatou Anneaux de polynômes Applications différentiables