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Centrale-Supélec PSI 2015 — Maths 2

Problème de Dirichlet sur le disque et polynômes harmoniques · 4 pages

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Le sujet étudie les polynômes harmoniques de deux variables, puis le noyau de Poisson $N(x, y, t) = (1 - |z|^2)/|z - e^{it}|^2$ , dont il montre l'harmonicité et la moyenne égale à $1$ . Il résout le problème de Dirichlet sur le disque unité : l'intégrale de Poisson d'une donnée continue au bord fournit une solution continue sur le disque fermé, et le principe du maximum en donne l'unicité. Il en déduit que, pour une donnée polynomiale de degré au plus $m$ , la solution est la restriction d'un polynôme harmonique de degré au plus $m$ , décompose tout polynôme sous la forme $H + (1 - x^2 - y^2)Q$ et calcule la dimension des polynômes harmoniques de degré au plus $m$ , dans $\mathbb{R}^2$ puis dans $\mathbb{R}^n$ .

Le sujet, partie par partie

Rappels et Partie I — Résultats préliminaires p. 1–2

Fonctions harmoniques · Polynômes · Espaces vectoriels et dimension · Calcul différentiel · Topologie, compacité, connexité — polynômes à deux variables, polynôme harmonique, laplacien, dimension, polynôme nul sur un ouvert

Partie II — Quelques exemples d'applications harmoniques p. 2–3

Fonctions harmoniques · Calcul différentiel · Séries entières · Nombres complexes · Interversion des limites — noyau de Poisson, fonction harmonique, homothétie, translation, $\ln(x^2 + y^2)$ , série géométrique

Partie III — Problème de Dirichlet sur le disque unité p. 3–4

Fonctions harmoniques · Intégrales à paramètre · Continuité · Points critiques et hessienne — problème de Dirichlet, intégrale de Poisson, principe du maximum, dérivation sous l'intégrale, continuité au bord, unicité

Partie IV — Retour sur les polynômes harmoniques p. 4

Fonctions harmoniques · Applications linéaires et rang · Espaces vectoriels et dimension · Coefficients binomiaux · Dénombrement et combinatoire — dimension des polynômes harmoniques, théorème du rang, application injective, polynômes à $n$ variables, base de polynômes harmoniques