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Centrale-Supélec PSI 2016 — Maths 2

Transformations de Fourier et de Laplace, échantillonnage de Shannon · 4 pages

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Le sujet étudie la transformée de Fourier des fonctions intégrables continues par morceaux et des fonctions à décroissance rapide (continuité, dérivées, invariance de la gaussienne $\exp(-\pi x^2)$ ) et démontre la formule d'inversion par une régularisation gaussienne. Il montre qu'une fonction dont la transformée est à support dans $[-1/2, 1/2]$ est développable en série entière et ne peut être à support compact sans être nulle, établit la convergence en $O(1/(2n+1))$ des sommes de Fourier d'une fonction périodique $\mathcal{C}^\infty$ via le noyau de Dirichlet, et en déduit la formule d'échantillonnage de Shannon $f = \sum f(-k)\, \psi_k$ avec le sinus cardinal. Il prouve enfin, à l'aide de sommes de lois de Poisson et de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, l'injectivité de la transformée de Laplace sur les fonctions continues à support compact.

Le sujet, partie par partie

Introduction et Partie I — Transformation de Fourier p. 1

Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre · Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité · Équations différentielles linéaires — transformée de Fourier, sinus cardinal, gaussienne, dérivation sous le signe intégrale, fonctions à décroissance rapide, fonction porte

Partie II — Formule d'inversion de Fourier p. 2

Transformées de Fourier et de Laplace · Convergence dominée · Intégrales multiples — formule d'inversion de Fourier, convergence dominée, gaussienne, théorème de Fubini

Partie III — Transformée de Fourier à support compact p. 2

Transformées de Fourier et de Laplace · Séries entières · Intégrales à paramètre — signal à bande limitée, développement en série entière, fonction à support compact, transformée de Fourier à support compact

Partie IV — Cas des fonctions périodiques p. 2–3

Convergence des séries de Fourier · Séries de Fourier · Intégrale sur un segment · Dérivabilité — noyau de Dirichlet, coefficients de Fourier, intégration par parties, vitesse de convergence, sommes de Fourier

Partie V — Formule d'échantillonnage de Shannon p. 3

Transformées de Fourier et de Laplace · Convergence des séries de Fourier · Convergence uniforme et normale — théorème d'échantillonnage de Shannon, sinus cardinal, reconstruction d'un signal, convergence uniforme

Partie VI — Transformation de Laplace p. 4

Transformées de Fourier et de Laplace · Loi de Poisson · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Couples et sommes de variables aléatoires · Lois des grands nombres — transformée de Laplace, injectivité de la transformée de Laplace, loi de Poisson, inégalité de Bienaymé-Tchebychev, somme de variables indépendantes

Dans l'édifice

Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Dérivabilité Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Lois de Poisson et loi exponentielle Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres