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e3a-Polytech MP 2020 — Mathématiques

Cinq exercices : lois géométriques, produit infini de cosinus hyperboliques, suites indexées par $\mathbb{Z}$ , orthogonal de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ , lemme de Cesàro · 4 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Le sujet comporte cinq exercices indépendants. On y calcule $P(X = Y)$ et la loi de $X + Y$ pour deux variables géométriques sur $\mathbb{N}$ indépendantes, on étudie le produit infini des $\operatorname{ch}(x/k)$ et l'intégrabilité de l'inverse de sa limite, puis on étudie sur l'espace des suites indexées par $\mathbb{Z}$ ayant des limites en $\pm\infty$ la symétrie $x \mapsto (x_{-n})$ et l'opérateur $x \mapsto (x_{n-1} + x_{n+1})$ , dont on détermine les valeurs propres, ainsi que deux normes non équivalentes. Les deux derniers exercices déterminent une base de l'orthogonal de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ dans $\mathbb{R}_n[X]$ pour le produit scalaire $\int_0^1 PQ$ par une fraction rationnelle, et démontrent le lemme de Cesàro par intégration de fonctions en escalier.

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Deux variables géométriques indépendantes p. 2

Loi géométrique · Couples et sommes de variables aléatoires · Espérance, variance, moments — loi géométrique sur $\mathbb{N}$ , espérance, $P(X = Y)$ , loi de la somme, variables indépendantes

Exercice 2 — Produit infini de cosinus hyperboliques p. 2

Produits infinis · Intégrales généralisées et intégrabilité · Suites et séries de fonctions · Continuité — cosinus hyperbolique, produit infini, passage au logarithme, intégrabilité, intégrale de $1/\operatorname{ch}$ , changement de variable

Exercice 3 — Suites indexées par $\mathbb{Z}$ : symétrie, opérateur de translation et normes p. 2–3

Suites récurrentes linéaires · Réduction des endomorphismes · Normes équivalentes · Applications linéaires et rang · Espaces vectoriels normés · Racines et relations coefficients-racines — suites indexées par $\mathbb{Z}$ , symétrie vectorielle, sous-espaces supplémentaires, valeurs propres d'un opérateur, équation caractéristique, norme infinie, sous-espace fermé, normes non équivalentes

Exercice 4 — Orthogonal de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ et fraction rationnelle associée p. 4

Polynômes orthogonaux · Fractions rationnelles · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Polynômes de Legendre — produit scalaire intégral, orthogonal d'un sous-espace, degré, zéros et pôles, décomposition en éléments simples, polynômes de Legendre

Exercice 5 — Lemme de Cesàro par les fonctions en escalier p. 4

Procédés de sommation et théorèmes taubériens · Convergence dominée · Intégrale sur un segment — lemme de Cesàro, fonction en escalier, partie entière, convergence simple, convergence dominée

Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Indépendance d'événements et de tribus Espérance, variance et inégalités Suites, séries et parties compactes de ℂ Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Normes en dimension finie Applications linéaires Théorème du rang Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Applications linéaires continues et dual topologique Anneaux de polynômes Espaces de Hilbert et théorème de projection Corps des fractions d'un anneau intègre Théorème de représentation de Riesz Sommation d'Abel et intégrales impropres Théorème de convergence dominée Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse