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e3a-Polytech PSI 2011 — Maths 2

Équation fonctionnelle polynomiale, cubique nodale et loi de corde-tangente, série de Fourier d'une périodisée · 4 pages

Sujet (PDF)

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Le premier exercice détermine les polynômes complexes $P$ vérifiant $P(X^2 - 1) = P(X - 1)P(X + 1)$ en étudiant l'orbite d'une racine sous une suite récurrente. Le deuxième étudie la courbe paramétrée $x = \varphi(t)$ , $y = t\varphi(t)$ avec $\varphi(t) = (t^2 - 1)/(t^2 + 1)$ et montre, à l'aide de déterminants, qu'une droite sécante ou tangente recoupe la courbe au point de paramètre $-(1 + ab)/(a + b)$ . Le troisième calcule les coefficients de Fourier de la fonction $2\pi$ -périodique $F(t) = \sum 1/\bigl(1 + (t + 2n\pi)^2\bigr)$ en les ramenant à l'intégrale $\int \cos(xs)/(1 + s^2) \,\mathrm{d}s$ , obtenue grâce à l'équation différentielle $\phi'' = \phi$ , d'où une expression explicite de $F$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice I — Polynômes vérifiant $P(X^2 - 1) = P(X - 1)P(X + 1)$ p. 1

Racines et relations coefficients-racines · Équations fonctionnelles · Suites numériques · Nombres complexes — racines d'un polynôme, équation fonctionnelle polynomiale, suite récurrente, module d'une racine

Exercice II — Une courbe paramétrée et la loi de corde-tangente p. 2

Courbes et surfaces · Déterminants · Géométrie affine et euclidienne — courbe paramétrée, point double, point stationnaire, asymptote, tangente, alignement de trois points, cubique

Exercice III, parties A et B — Une série de fonctions périodique et ses coefficients de Fourier p. 3

Convergence uniforme et normale · Séries de Fourier · Interversion des limites · Convergence des séries de Fourier · Intégrales généralisées et intégrabilité — série de fonctions, convergence uniforme sur tout segment, fonction $2\pi$ -périodique, coefficients de Fourier, intégration terme à terme, périodisée

Exercice III, partie C — L'intégrale de $\cos(xs)/(1 + s^2)$ p. 4

Intégrales à paramètre · Transformées de Fourier et de Laplace · Équations linéaires d'ordre 2 · Intégrales généralisées et intégrabilité — intégrale à paramètre, intégrale semi-convergente, intégration par parties, équation différentielle $y'' = y$ , transformée de Fourier de $1/(1 + s^2)$ , formule sommatoire de Poisson

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Continuité Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Espaces vectoriels et sous-espaces Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Une série entière est holomorphe Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Systèmes linéaires et exponentielle de matrices