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X-ENS MPI 2023 — Maths A

Quaternions, rotations et théorème de Frobenius-Hurwitz · 7 pages

Le sujet introduit l'algèbre $\mathbb{H}$ des quaternions et sa norme multiplicative, puis identifie ses automorphismes aux rotations de $\mathrm{SO}(3)$ et décrit $\mathrm{SO}(4)$ à l'aide des couples de quaternions unitaires. Il montre qu'une norme sur $\mathbb{R}^2$ vérifiant $\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 \geqslant 4$ pour tous vecteurs unitaires $x, y$ est euclidienne (par un déterminant maximal sur un compact convexe), établit le théorème de Frobenius sur les $\mathbb{R}$ -algèbres algébriques sans diviseur de zéro, et en déduit le théorème de Hurwitz : une $\mathbb{R}$ -algèbre munie d'une norme multiplicative est isomorphe à $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ ou $\mathbb{H}$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Préliminaires p. 2–3

Quaternions · Algèbres et sous-algèbres · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Connexité · Nombres complexes · Isométries et groupe orthogonal — quaternions, algèbre $\mathbb{H}$ , norme multiplicative, base orthonormée directe

Partie II — Automorphismes de $\mathbb{H}$ et rotations p. 4–5

Quaternions · Matrices orthogonales et rotations · Groupes · Groupes de matrices · Connexité · Algèbres et sous-algèbres — $\mathrm{SO}(3)$ , $\mathrm{SO}(4)$ , automorphismes d'algèbre, quaternions unitaires, noyau d'un morphisme

Partie III — Normes euclidiennes sur $\mathbb{R}^2$ p. 5–6

Espaces vectoriels normés · Compacité · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Déterminants · Ensembles convexes — norme euclidienne, inégalité $\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 \geqslant 4$ , déterminant maximal, compact convexe

Partie IV — Algèbres valuées p. 6–7

Quaternions · Algèbres et sous-algèbres · Corps et extensions · Espaces vectoriels normés · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Polynômes — théorème de Frobenius, théorème de Hurwitz, algèbre sans diviseur de zéro, algèbre algébrique, norme multiplicative

X-ENS MPI 2023 — Maths A

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Préliminaires p. 2–3

Partie II — Automorphismes de ℍ\mathbb{H} et rotations p. 4–5

Partie III — Normes euclidiennes sur ℝ2\mathbb{R}^2 p. 5–6

Partie IV — Algèbres valuées p. 6–7

Dans l'édifice

Partie II — Automorphismes de $\mathbb{H}$ et rotations p. 4–5

Partie III — Normes euclidiennes sur $\mathbb{R}^2$ p. 5–6