AnnalesEnseignement

Agrégation externe 2016 — Analyse et probabilités

Fractions continues, théorème ergodique de Birkhoff et théorèmes de Khintchine et Lévy · 10 pages

Le sujet définit le développement en fraction continue d'un irrationnel de $[0, 1]$ par l'application de Gauss $T(x) = 1/x - \lfloor 1/x \rfloor$ , établit les propriétés des réduites $p_n/q_n$ et calcule quelques intégrales, dont $\int_0^1 \ln(x)/(1+x) \,\mathrm{d}x = -\pi^2/12$ par une série de Fourier. Il démontre le théorème ergodique de Birkhoff (lemme de Riesz, inégalité maximale), puis montre que la mesure de Gauss de densité $1/(\ln 2\, (1+x))$ est invariante par $T$ et que $T$ est ergodique, grâce aux intervalles fondamentaux et à une inégalité de sous-mélange. Il en déduit le théorème de Khintchine sur la moyenne géométrique des quotients partiels et les théorèmes de Lévy : $(1/n) \ln q_n$ tend vers $\pi^2/(12 \ln 2)$ et $(1/n) \ln|x - p_n/q_n|$ vers $-\pi^2/(6 \ln 2)$ presque partout.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Résultats préliminaires p. 1–4

Fractions continues · Convergence des séries de Fourier · Interversion des limites · Calcul matriciel · Intégrales généralisées et intégrabilité · Théorie de la mesure · Irrationalité et approximation diophantienne · Comparaison série-intégrale — développement en fraction continue, réduites, application de Gauss, fonctions homographiques, série de Fourier, constante d'Euler

Partie II — Théorème de Birkhoff p. 4–6

Théorie ergodique · Théorie de la mesure · Théorèmes de convergence intégrale · Suites numériques · Inégalités classiques — théorème ergodique de Birkhoff, inégalité maximale, lemme de Riesz, mesure invariante, ergodicité, limite supérieure

Partie III — Propriétés de l'opérateur $T$ p. 6–9

Théorie ergodique · Théorie de la mesure · Fractions continues · Topologie, compacité, connexité · Ensembles et dénombrabilité · Théorèmes de convergence intégrale — mesure de Gauss, régularité de la mesure de Lebesgue, intervalles fondamentaux, inégalité de sous-mélange, ensemble invariant, ergodicité

Partie IV — Applications du théorème de Birkhoff p. 9–10

Fractions continues · Théorie ergodique · Irrationalité et approximation diophantienne · Théorie de la mesure · Produits infinis · Intégrales généralisées et intégrabilité — théorème de Khintchine, théorèmes de Lévy, quotients partiels, vitesse d'approximation des réduites, presque partout, produit infini

Dans l'édifice

ℚ, corps des fractions de ℤ ℚ est archimédien et dense Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Une série entière est holomorphe Matrices d'une application linéaire Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Tribus et tribu borélienne Mesures et premières propriétés La mesure de Lebesgue sur ℝ Fonctions mesurables ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure Un corps ordonné complet est archimédien Intégrale de Riemann Théorème de convergence dominée Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)Lemme de Fatou Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Espace topologique Compacité Caractérisations de la connexité Topologie de ℝ Équipotence et comparaison des ensembles Théorème de Cantor-Bernstein ℕ × ℕ, ℤ et ℚ sont dénombrables Suites, séries et parties compactes de ℂ