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Agrégation externe 2016 — Mathématiques générales

Groupe symplectique, lagrangiens et indices de Maslov · 8 pages

Le sujet présente les espaces vectoriels symplectiques (forme bilinéaire antisymétrique non dégénérée, base symplectique ramenant au modèle de matrice $J$ ), puis étudie le groupe symplectique $\mathrm{Sp}(2n)$ : stabilité par transposée, symétrie $\lambda \leftrightarrow 1/\lambda$ du spectre, identification de $\mathrm{Sp}(2n) \cap \mathrm{O}(2n)$ à $\mathrm{U}(n)$ , décomposition polaire, connexité par arcs, conjugaison de tout sous-groupe compact dans $\mathrm{U}(n)$ via une mesure invariante, et structure de sous-variété. Il étudie ensuite les sous-espaces lagrangiens, l'action de $\mathrm{Sp}(2n)$ sur les triplets de lagrangiens deux à deux transverses et l'invariant donné par la signature d'une forme quadratique associée, avant de définir des indices de Maslov par relèvement de chemins dans le cercle et de démontrer la formule de Leray reliant indice de Maslov et signature.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Espace vectoriel symplectique p. 1–3

Groupe symplectique · Formes bilinéaires et quadratiques · Dualité · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Applications linéaires et rang — forme symplectique, forme bilinéaire non dégénérée, orthogonal symplectique, base symplectique, endomorphisme antisymétrique, dimension paire

Partie II — Groupe symplectique réel p. 3–5

Groupe symplectique · Groupes de matrices · Inversion locale et fonctions implicites · Isométries et groupe orthogonal · Matrices symétriques positives · Connexité · Compacité · Théorie de la mesure · Calcul différentiel — groupe unitaire, décomposition polaire, sous-groupes compacts maximaux, mesure de Haar, sous-variété, espace tangent

Partie III — Espaces lagrangiens p. 5–6

Groupe symplectique · Actions de groupes · Formes bilinéaires et quadratiques · Dualité · Espaces vectoriels et dimension — sous-espace lagrangien, sous-espace isotrope, lagrangiens transverses, action transitive, signature d'une forme quadratique, orbite

Partie IV — Indices de Maslov p. 6–8

Topologie algébrique · Groupe symplectique · Groupes de matrices · Actions de groupes · Nombres complexes · Formes bilinéaires et quadratiques · Réduction des endomorphismes — indice de Maslov, relèvement, groupe fondamental, formule de Leray, détermination principale du logarithme, stabilisateur

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Espace dual Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Applications linéaires Théorème du rang Théorème de Cartan-von Neumann Théorème d'inversion locale Forme locale des submersions et fonctions implicites Sous-variétés de ℝⁿ Caractérisations de la connexité Compacité Tribus et tribu borélienne Mesures et premières propriétés La mesure de Lebesgue sur ℝ Fonctions mesurables Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Groupes Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Le groupe fondamental Le groupe fondamental du cercle est ℤ Homotopie de chemins Point fixe de Brouwer et invariance de la dimension Conjugaison et module