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Agrégation interne 2015 — Épreuve 1

Anneaux de matrices $xI + yB$ , test de Lucas-Lehmer et classes de similitude de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ · 5 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Le sujet étudie l'anneau $\mathcal{A}_a$ des matrices $xI + yB$ , où $B$ est la matrice de carré $aI$ : c'est un corps si et seulement si $a$ n'est pas un carré, et il est isomorphe à $k \times k$ si $a$ est un carré non nul en caractéristique différente de 2. Sur $\mathbb{F}_p$ , il exploite le morphisme de Frobenius $M \mapsto M^p$ et la relation $M^{p+1} = \det(M) I$ pour démontrer le critère de primalité de Lucas-Lehmer : pour $q \geqslant 3$ , $2^q - 1$ est premier si et seulement s'il divise $T_{q-2}$ , où $T_0 = 2$ et $T_{n+1} = 2T_n^2 - 1$ . La dernière partie dénombre les classes de similitude de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ et leurs cardinaux à l'aide de l'extension quadratique $\mathcal{A}_a$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Morphismes de groupes finis, carrés et matrices $2 \times 2$ p. 2–3

Groupes cycliques et ordre · Corps finis · Calcul matriciel · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Groupes · Résidus quadratiques et réciprocité — noyau d'un morphisme, carrés d'un corps fini, morphisme $x \mapsto x^d$ , critère d'Euler, trace et déterminant, matrice d'ordre 4

Partie II — Les anneaux $\mathcal{A}_a$ p. 3

Anneaux et idéaux · Corps et extensions · Algèbres et sous-algèbres · Nombres complexes · Diagonalisation · Groupes cycliques et ordre · Tests de primalité · Suites numériques — sous-anneau de matrices, éléments inversibles, extension quadratique, isomorphisme d'anneaux, anneau produit $k \times k$ , ordre d'un élément

Partie III — Le morphisme de Frobenius sur $\mathcal{A}_a$ p. 4

Corps finis · Anneaux et idéaux · Applications linéaires et rang · Polynômes — morphisme de Frobenius, projecteur, polynôme irréductible de degré 2, conjugué, $M^{p+1} = \det(M) I$

Partie IV — Test de primalité de Lucas-Lehmer p. 4

Tests de primalité · Corps finis · Résidus quadratiques et réciprocité · Groupes cycliques et ordre · Nombres premiers · Congruences et Z/nZ · Suites numériques — nombres de Mersenne, test de Lucas-Lehmer, critère de primalité, résidus quadratiques, élément d'ordre 3

Partie V — Classes de similitude de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ p. 5

Groupes de matrices · Corps finis · Réduction des endomorphismes · Actions de groupes · Trigonalisation · Dénombrement et combinatoire — $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ , classes de similitude, cardinal de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ , corps à $p^2$ éléments, réduction des matrices $2 \times 2$ , centralisateur

Agrégation interne 2015 — Épreuve 1

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Morphismes de groupes finis, carrés et matrices 2×22 \times 2 p. 2–3

Partie II — Les anneaux 𝒜a\mathcal{A}_a p. 3

Partie III — Le morphisme de Frobenius sur 𝒜a\mathcal{A}_a p. 4

Partie IV — Test de primalité de Lucas-Lehmer p. 4

Partie V — Classes de similitude de GL2(𝔽p)\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p) p. 5

Dans l'édifice

Notations et Partie I — Morphismes de groupes finis, carrés et matrices $2 \times 2$ p. 2–3

Partie II — Les anneaux $\mathcal{A}_a$ p. 3

Partie III — Le morphisme de Frobenius sur $\mathcal{A}_a$ p. 4

Partie V — Classes de similitude de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ p. 5