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Agrégation interne 2021 — Épreuve 2

Fonctions presque-périodiques et solutions bornées d'équations différentielles · 13 pages

Le problème étudie les fonctions presque-périodiques, limites uniformes de combinaisons de fonctions périodiques continues, dont il montre qu'elles forment un espace de Banach stable par produit et par composition avec une fonction continue. Il approche les fonctions périodiques par le noyau de Fejér, définit la moyenne $M$ et les coefficients de Fourier-Bohr, et établit la relation de Parseval pour ces fonctions. Il conclut sur les solutions bornées des équations différentielles linéaires $X' = A(t)X + B(t)$ sous une hypothèse de stabilité exponentielle : la solution bornée est périodique quand $A$ et $B$ le sont, et presque-périodique quand $A$ est constante à valeurs propres de partie réelle strictement négative et $B$ presque-périodique.

Le sujet, partie par partie

Notations, définitions et Partie I — Préliminaires p. 3–5

Convergence uniforme et normale · Continuité · Espaces vectoriels normés · Espaces vectoriels et dimension · Nombres complexes — convergence uniforme, uniforme continuité, espace de Banach, famille libre d'exponentielles, polynômes trigonométriques généralisés

Partie II — Quelques propriétés concernant les fonctions périodiques p. 5–7

Séries de Fourier · Convergence des séries de Fourier · Théorème de Weierstrass · Continuité · Irrationalité et approximation diophantienne · Polynômes — noyau de Fejér, théorème de Fejér, fonctions périodiques, somme de fonctions périodiques, primitive bornée, fonctions $t \mapsto e^{\mu t}P(t)$

Partie III — Étude de l'espace des fonctions presque-périodiques p. 7–8

Fonctions presque-périodiques · Convergence uniforme et normale · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Espaces vectoriels normés · Compacité · Théorème de Weierstrass — fonctions presque-périodiques, espace de Banach, sous-espace fermé, stabilité par produit, composition par une fonction continue

Partie IV A et B — Moyennes et coefficients de Fourier-Bohr p. 8–10

Fonctions presque-périodiques · Séries de Fourier · Espaces vectoriels normés · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Ensembles et dénombrabilité · Intégrale sur un segment · Familles sommables et produit de Cauchy — moyenne d'une fonction, coefficients de Fourier-Bohr, forme linéaire continue, norme d'une forme linéaire, ensemble au plus dénombrable

Partie IV C — Relation de Parseval p. 10–11

Formule de Parseval · Fonctions presque-périodiques · Projection orthogonale et moindres carrés · Convergence uniforme et normale · Extrema et optimisation — relation de Parseval, inégalité de Bessel, meilleure approximation, fonctions presque-périodiques

Partie V — Solutions bornées d'équations différentielles p. 11–13

Systèmes différentiels linéaires · Exponentielle de matrices · Réduction des endomorphismes · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Fonctions presque-périodiques · Stabilité des équilibres · Équations différentielles linéaires — solutions bornées, sous-espaces caractéristiques, stabilité exponentielle, solution périodique, équation $X' = AX + B(t)$

Dans l'édifice

Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Densité des fonctions en escalier et continuité des translations ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure Un corps ordonné complet est archimédien Anneaux de polynômes Espaces de Hilbert et théorème de projection Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Compacité Équipotence et comparaison des ensembles Théorème de Cantor-Bernstein ℕ × ℕ, ℤ et ℚ sont dénombrables