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Centrale-Supélec MP 2012 — Maths 1

Produit de convolution, transformée de Fourier et convolution de codimension finie · 4 pages

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Le sujet étudie le produit de convolution $f \ast g$ sur $\mathbb{R}$ (existence, continuité uniforme, dérivabilité, lien avec les séries de Fourier), les approximations de l'unité, et en déduit le théorème de Weierstrass grâce aux noyaux $(1 - t^2)^n/\lambda_n$ . Il définit ensuite la transformée de Fourier, montre que celle d'une convolée est le produit des transformées et prouve la formule d'inversion à l'aide du noyau de Fejér construit à partir de $(\sin x/x)^2$ . Il caractérise enfin les fonctions continues bornées $g$ pour lesquelles le sous-espace des $f$ intégrables telles que $f \ast g = 0$ est de codimension finie : ce sont les solutions bornées d'équations différentielles linéaires à coefficients constants, c'est-à-dire les combinaisons de $x \mapsto e^{i\beta x}$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Produit de convolution p. 1–2

Transformées de Fourier et de Laplace · Théorème de Weierstrass · Intégrales à paramètre · Continuité · Séries de Fourier · Convergence uniforme et normale · Inégalité de Cauchy-Schwarz — produit de convolution, approximation de l'unité, continuité uniforme, opérateur de translation, noyau de Landau, théorème de Weierstrass, dérivation sous l'intégrale

Partie II — Transformée de Fourier p. 2–3

Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales à paramètre · Intégrales multiples · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence des séries de Fourier — transformée de Fourier, transformée d'une convolée, sinus cardinal, noyau de Fejér, formule d'inversion de Fourier, théorème de Fubini

Partie III — Convolution et codimension finie p. 3–4

Dualité · Équations différentielles linéaires · Espaces vectoriels et dimension · Déterminants · Transformées de Fourier et de Laplace · Dérivabilité — codimension, formes linéaires, intersection de noyaux, sous-espace invariant par translation, formes linéaires d'évaluation, équation différentielle linéaire à coefficients constants, fonctions exponentielles

Dans l'édifice

Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Espace dual Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Dérivabilité