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Centrale-Supélec MP 2020 — Maths 2

Espaces à noyau reproduisant · 4 pages

Le problème introduit les espaces préhilbertiens de fonctions où l'évaluation en chaque point est continue et représentée par un produit scalaire $f(x) = \langle k_x, f\rangle$ . Il étudie d'abord l'opérateur intégral autoadjoint $T$ de noyau $k_s(t)$ (fonction de Green de $-f''$ avec conditions de Dirichlet sur $[0, 1]$ ), dont il détermine valeurs propres et vecteurs propres $\sqrt{2}\sin(k\pi x)$ , puis il donne des exemples : l'espace des fonctions nulles au bord muni de l'intégrale de $f'g'$ , un espace de séries entières à coefficients de carré sommable, le noyau $\min(x, y)$ . Il montre enfin que les fonctions d'un tel espace sont continues si le noyau l'est et construit un espace à noyau reproduisant à partir d'un opérateur intégral.

Le sujet, partie par partie

Définitions et Partie I — Préliminaires p. 1

Endomorphismes symétriques, théorème spectral · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Sous-espaces stables · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Dérivabilité — endomorphisme autoadjoint, orthogonal d'un sous-espace stable, maximum du quotient de Rayleigh, vecteur propre, espace préhilbertien

Partie II — Étude d'un opérateur p. 1–2

Opérateurs et théorie spectrale · Problèmes aux limites, Sturm-Liouville · Intégrales à paramètre · Équations linéaires d'ordre 2 · Séries de Fourier · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Convergence uniforme et normale — opérateur intégral, fonction de Green, noyau continu, opérateur autoadjoint, valeurs propres et sous-espaces propres, famille orthonormale totale, relation $T(f)'' = -f$

Partie III.A et III.B — Un exemple et un contre-exemple d'espace à noyau reproduisant p. 3

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Intégrale sur un segment · Normes subordonnées et applications linéaires continues — espace à noyau reproduisant, fonctions $\mathcal{C}^1$ par morceaux, produit scalaire de Dirichlet, inégalité de Cauchy-Schwarz, forme linéaire d'évaluation continue

Partie III.C et III.D — Séries entières et noyau $\min(x, y)$ p. 3–4

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Séries entières · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Intégrale sur un segment — rayon de convergence, suites de carré sommable, noyau de Szegő $1/(1 - xt)$ , noyau $\min(x, y)$ , changement de variable

Partie IV — Quelques résultats sur les espaces à noyau reproduisant p. 4

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Opérateurs et théorie spectrale · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Continuité · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Applications linéaires et rang — norme de la forme d'évaluation, continuité des fonctions de l'espace, opérateur intégral à noyau continu, isomorphisme induit sur l'orthogonal du noyau, noyau reproduisant

Dans l'édifice

Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires Théorème de représentation de Riesz Dérivabilité Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Théorème de Cauchy-Lipschitz local Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Théorème du rang