AnnalesÉcoles d'ingénieurs

X-ENS MP 2012 — Maths C

Nombres de Pisot · 5 pages

Le sujet étudie les nombres de Pisot, entiers algébriques $\theta$ de module au moins 1 dont tous les autres conjugués sont de module strictement inférieur à 1 (on montre qu'ils sont réels). Après le lemme de Gauss sur les polynômes primitifs, il montre que la série des $\sin^2(\pi\theta^n)$ converge lorsque $\theta$ est de Pisot, puis caractérise les séries entières rationnelles par une récurrence linéaire ou l'annulation des déterminants de Hankel et prouve qu'une telle série à coefficients entiers a un dénominateur de terme constant $\pm 1$ . Il en déduit la réciproque (théorème de Pisot : si $\theta > 1$ et si la série des $\sin^2(\lambda\pi\theta^n)$ converge pour un $\lambda > 0$ , $\theta$ est de Pisot) et montre enfin que si le produit infini $\Gamma(u)$ des $\cos(u\theta^{-k})$ ne tend pas vers $0$ à l'infini, $\theta$ est un nombre de Pisot, la réciproque étant établie pour $\theta$ de Pisot différent de $2$ .

Le sujet, partie par partie

Partie 1 — Entiers algébriques et nombres de Pisot p. 2

Entiers algébriques et équations diophantiennes · Polynômes · Anneaux et idéaux · Corps et extensions · Nombres premiers · Racines et relations coefficients-racines · Séries numériques — nombre de Pisot, entier algébrique, polynôme minimal, lemme de Gauss, polynôme primitif, conjugués d'un nombre algébrique

Partie 2 — Séries entières rationnelles p. 3–4

Séries entières · Fractions rationnelles · Déterminants · Suites récurrentes linéaires · PGCD, Bézout, Gauss · Séries formelles — série entière rationnelle, déterminants de Hankel, récurrence linéaire, théorème de Bézout, coefficients entiers, critère de Kronecker

Partie 3 — Réciproque : théorème de Pisot p. 4

Entiers algébriques et équations diophantiennes · Séries entières · Analyse complexe · Déterminants · Inégalités classiques · Racines et relations coefficients-racines — théorème de Pisot, inégalité d'Hadamard, partie entière et distance à l'entier le plus proche, zéros d'un polynôme dans le disque unité, rayon de convergence

Partie 4 — Produits infinis de cosinus p. 5

Produits infinis · Entiers algébriques et équations diophantiennes · Séries numériques — produit infini, produit de cosinus, nombre de Pisot, sinus cardinal, $\theta = 2$

Dans l'édifice

Entiers algébriques Anneaux d'entiers des corps quadratiques Entiers de Gauss et théorème des deux carrés Anneaux de polynômes Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux Corps Extensions de corps et multiplicativité des degrés Éléments algébriques et polynôme minimal Corps de décomposition Théorème fondamental de l'arithmétique Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Corps des fractions d'un anneau intègre Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire PGCD, théorème de Bézout, lemme de Gauss Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Espaces vectoriels normés et espaces de Banach