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X-ENS MP 2020 — Maths D

Fonctions simples, permutations alternées et nombres d'Euler · 12 pages

Le sujet classe les fonctions « simples » (continues, à ensemble fini d'extremums relatifs sur lequel elles sont injectives), à reparamétrage croissant près au départ et à l'arrivée, par une permutation de montée-descente ou de descente-montée, et montre, en redémontrant le théorème d'inversion locale, que toute fonction simple tendant vers l'infini en valeur absolue en $\pm\infty$ est équivalente à un polynôme. Il dénombre les permutations alternées (nombres d'Euler $E_n$ ), relie leur série génératrice exponentielle à $\tan(x/2 + \pi/4)$ , étudie leur périodicité modulo un nombre premier, et montre enfin la continuité d'un « code » associé aux extremums.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Fonctions simples et relation d'équivalence p. 3–4

Continuité · Connexité · Groupe symétrique · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels — extremum relatif strict, permutation de montée-descente, relation d'équivalence, homéomorphisme croissant, connexité par arcs, norme uniforme

Partie II — Inversion locale et réalisation par des polynômes p. 4–6

Inversion locale et fonctions implicites · Calcul différentiel · Compacité · Polynômes · Points fixes et suites itératives · Connexité — théorème d'inversion locale, application ouverte, différentielle inversible, application propre, polynôme unitaire, ouvert fermé

Partie III — Bijections entre ensembles de permutations alternées p. 6–7

Groupe symétrique · Dénombrement et combinatoire — permutation alternée, permutation de montée-descente, bijection, relation de récurrence, construction combinatoire

Partie IV — Nombres d'Euler, tangente et congruences p. 7–9

Séries entières · Fonctions génératrices · Congruences et Z/nZ · Déterminants · Coefficients binomiaux · Actions de groupes · Matrices remarquables · Équations différentielles non linéaires · Polynômes d'endomorphismes — nombres d'Euler, série génératrice exponentielle, fonction tangente, théorème de Wilson, matrice tridiagonale, polynôme caractéristique, $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ , périodicité modulo $p$

Partie V — Code d'une fonction simple et continuité p. 9–11

Continuité · Topologie, compacité, connexité · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels — maximum relatif, minimum relatif, bijection associée, distance de Hausdorff, norme uniforme, perturbation

Dans l'édifice

Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Caractérisations de la connexité Groupe symétrique et signature Espaces de Hilbert et théorème de projection Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Théorème d'inversion locale Forme locale des submersions et fonctions implicites Sous-variétés de ℝⁿ Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Compacité Anneaux de polynômes Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Les anneaux ℤ/nℤ Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Groupes Matrices d'une application linéaire