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X-ENS MP 2022 — Maths D

Points rationnels de la quadrique $3x^2 + 3y^2 - z^2 = -1$ · 15 pages

Le sujet étudie les points rationnels de la nappe $H$ de la quadrique $3x^2 + 3y^2 - z^2 = -1$ , munie de la forme bilinéaire de signature $(2, 1)$ qui en fait un modèle du plan hyperbolique : réflexions, distance hyperbolique avec $\operatorname{ch}(d(u, v)) = -B(u, v)$ , groupe $\Gamma$ des isométries entières et domaine fondamental compact. Il compte les points de dénominateur fixé et de hauteur bornée (croissance linéaire en la coordonnée $z$ , croissance exponentielle de $\Gamma(R)$ ), étudie l'équation $a^2 + b^2 \equiv 0 \mod d$ par des sommes exponentielles, et conclut via une projection stéréographique et un critère d'équidistribution que le nombre de points rationnels de hauteur au plus $h$ dans une boule hyperbolique est compris entre $h^{2-\varepsilon}$ et $h^{2+\varepsilon}$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 — Un critère d'équidistribution p. 3–5

Convergence uniforme et normale · Approximation des fonctions · Polynômes · Séries de Fourier · Intégrales multiples — équidistribution, polynômes trigonométriques, critère de Weyl, itérées d'un polynôme, convergence uniforme sur tout compact

Parties 2–3 — Pseudo-orthogonalité et symétries réelles p. 6

Formes bilinéaires et quadratiques · Groupes de matrices · Isométries et groupe orthogonal · Diagonalisation — forme bilinéaire de signature $(2,1)$ , forme de Lorentz, hyperboloïde, réflexion, groupe orthogonal d'une forme quadratique

Partie 4 — Géométrie de $H$ p. 7–8

Courbes et surfaces · Formes bilinéaires et quadratiques · Intégrale sur un segment · Calcul différentiel — géométrie hyperbolique, longueur hyperbolique, distance hyperbolique, modèle de l'hyperboloïde, espace tangent, cosinus hyperbolique

Partie 5 — Symétries entières p. 8

Groupes de matrices · Actions de groupes · Compacité · Formes bilinéaires et quadratiques — groupe arithmétique, domaine fondamental, groupe engendré par des réflexions, matrices entières

Partie 6 — Points rationnels de hauteur bornée p. 9–10

Actions de groupes · Dénombrement et combinatoire · Développements asymptotiques · Courbes et surfaces — comptage d'orbites, croissance exponentielle, hauteur d'un point rationnel, boule hyperbolique

Partie 7 — L'équation $a^2 + b^2 = 0 \mod d$ p. 10–12

Congruences et Z/nZ · Théorème chinois · Nombres premiers · Groupes cycliques et ordre · Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius — somme exponentielle, racine carrée de $-1$ modulo $p$ , lemme chinois, relèvement modulo $p^\alpha$ , nombre de facteurs premiers

Partie 8 — Comportement asymptotique de $P_{\leqslant h}$ p. 13–15

Théorie analytique des nombres · Développements asymptotiques · Courbes et surfaces · Congruences et Z/nZ · Nombres rationnels et décimaux — projection stéréographique, équidistribution des points rationnels, comptage de points rationnels, hauteur, boule hyperbolique

Dans l'édifice

Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Anneaux de polynômes Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Espace dual Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Matrices d'une application linéaire Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Groupes Compacité Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Dérivabilité Les anneaux ℤ/nℤ Théorème fondamental de l'arithmétique Sous-groupes Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1