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X-ENS PSI 2015 — Maths

Équation de Schrödinger non linéaire et flot binormal des courbes · 6 pages

Le sujet étudie une équation différentielle non linéaire complexe $(E_\alpha)$ dont les solutions, par un changement d'échelle autosimilaire, fournissent des solutions d'une équation de type Schrödinger non linéaire $(F_\alpha)$ ; il établit une intégrale première, des bornes et le comportement asymptotique de $|f|$ . Il calcule ensuite l'exponentielle d'une matrice antisymétrique (une rotation) puis étudie une courbe $G$ solution de $G'' = \frac{1}{2}((I_3 + M)G) \wedge G'$ à l'aide du repère de Frenet, et relie sa courbure et sa torsion à une solution de $(F_\alpha)$ par la transformation de Hasimoto.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — L'équation $(E_\alpha)$ et l'équation $(F_\alpha)$ p. 2–4

Équations différentielles non linéaires · Équations aux dérivées partielles · Développements asymptotiques · Intégrale sur un segment · Séries de Fourier · Suites et séries de fonctions · Nombres complexes — équation de Schrödinger non linéaire, intégrale première, solutions autosimilaires, moyenne de Cesàro d'une fonction, fonction non périodique, dérivation terme à terme

Partie II — Exponentielle d'une matrice antisymétrique p. 4–5

Exponentielle de matrices · Matrices orthogonales et rotations · Suites numériques · Espaces préhilbertiens et euclidiens — exponentielle de matrice, matrice antisymétrique, rotation d'axe vertical, produit vectoriel, puissances d'une matrice, similitude

Partie III — Courbes solutions et repère de Frenet p. 5–6

Courbes et surfaces · Équations différentielles linéaires · Équations aux dérivées partielles · Systèmes différentiels linéaires · Équations linéaires d'ordre 2 · Équations différentielles non linéaires — repère de Frenet, courbure, torsion, produit vectoriel, flot binormal, transformation de Hasimoto, variation des constantes

Dans l'édifice

Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs Fonctions de classe Cᵏ Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Une série entière est holomorphe Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Sous-variétés de ℝⁿ Espace tangent à une sous-variété Systèmes linéaires et exponentielle de matrices