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Agrégation externe 2012 — Analyse et probabilités

Propriétés spectrales des opérateurs compacts positifs · 10 pages

Le problème démontre le théorème de Perron-Frobenius pour une matrice qui envoie les vecteurs positifs non nuls sur des vecteurs strictement positifs, et l'applique au comportement asymptotique de $y' = Ay$ . Il développe ensuite la théorie spectrale des opérateurs compacts sur un Banach, étudie un opérateur intégral et un opérateur de convolution périodique, établit le théorème de point fixe de Schauder à partir de celui de Brouwer et en déduit un analogue en dimension infinie (théorème de Krein-Rutman) pour les opérateurs compacts fortement positifs relativement à un cône. Il traite enfin un opérateur aux différences sur l'espace des suites $\ell^2(\mathbb{Z})$ par une méthode variationnelle.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie 1 — Dimension finie p. 1–3

Théorème de Perron-Frobenius · Systèmes différentiels linéaires · Nilpotents, Jordan, Dunford · Nombres complexes · Exponentielle de matrices — théorème de Perron-Frobenius, rayon spectral, vecteur propre à coordonnées positives, valeur propre simple, décomposition de Dunford, comportement asymptotique

Partie 2 — Quelques éléments d'analyse spectrale p. 4

Opérateurs et théorie spectrale · Espaces vectoriels normés · Analyse complexe · Séries entières · Compacité — spectre, ensemble résolvant, série de Neumann, opérateur compact, lemme de Riesz, théorème de Liouville, algèbre de Banach

Partie 3 — Exemple et contre-exemple sur un espace de fonctions p. 5–6

Opérateurs et théorie spectrale · Séries de Fourier · Compacité · Transformées de Fourier et de Laplace · Équivalents et comparaison — théorème d'Arzelà-Ascoli, opérateur de Volterra, opérateur de convolution, coefficients de Fourier, opérateur fortement positif, valeur propre de module maximal

Partie 4 — Un théorème de point fixe p. 6–7

Théorèmes de point fixe topologiques · Compacité · Topologie algébrique · Ensembles convexes · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels — théorème de Schauder, théorème de Brouwer, application compacte, partition de l'unité, approximation en dimension finie, espace $\ell^2$

Partie 5 — Application en théorie spectrale p. 7–8

Opérateurs et théorie spectrale · Théorèmes de point fixe topologiques · Théorème de Perron-Frobenius · Ensembles convexes · Espaces vectoriels normés — théorème de Krein-Rutman, cône, opérateur fortement positif, valeur propre principale, espace propre de dimension 1, relation d'ordre

Partie 6 — Un exemple sur un espace de suites p. 9–10

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Opérateurs et théorie spectrale · Quotient de Rayleigh et Courant-Fischer · Compacité · Formes bilinéaires et quadratiques — espace de Hilbert, théorème de représentation de Riesz, formulation variationnelle, opérateur aux différences, quotient de Rayleigh, cône d'intérieur vide, suites $\ell^2(\mathbb{Z})$

Dans l'édifice

Matrices d'une application linéaire Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Compacité Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Suites réelles et limites Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski