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Agrégation externe 2021 — Analyse et probabilités

Polynômes trigonométriques généralisés et fonctions presque périodiques · 16 pages

Le sujet étudie l'adhérence uniforme des combinaisons finies de fonctions $t \mapsto e^{i\lambda t}$ , $\lambda$ réel, définit pour ces fonctions des coefficients de Fourier généralisés comme limites de moyennes et établit l'égalité de Bessel, dont il déduit que le spectre est dénombrable. Il caractérise les solutions bornées de $y' = \beta y + f$ , montre que les fonctions « normales » au sens de Bochner sont presque périodiques au sens de Bohr, et conclut par l'injectivité des coefficients de Fourier généralisés et la convergence normale de la série de Fourier sous hypothèse de sommabilité.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Questions préliminaires p. 3–7

Convergence uniforme et normale · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Équations différentielles linéaires · Familles sommables et produit de Cauchy · Ensembles et dénombrabilité · Densité · Opérateurs et théorie spectrale — espace de Banach, endomorphisme continu, solutions bornées, équation $y' = \beta y + f$ , famille sommable, prolongement par densité d'une forme linéaire

Partie II — Polynômes trigonométriques généralisés p. 8–9

Fonctions presque-périodiques · Séries de Fourier · Applications linéaires et rang · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Irrationalité et approximation diophantienne · Densité · Groupes · Nombres complexes — polynômes trigonométriques généralisés, famille libre d'exponentielles, spectre, coefficients de Fourier généralisés, sous-groupe dense de $\mathbb{R}$ , adhérence de l'image

Partie III — Limites uniformes de polynômes trigonométriques généralisés p. 9–10

Fonctions presque-périodiques · Convergence uniforme et normale · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Séries de Fourier · Densité · Intégrale sur un segment — moyenne de Bohr, coefficients de Fourier généralisés, adhérence pour la norme uniforme, prolongement d'une forme linéaire continue

Partie IV — Égalité de Bessel pour les coefficients de Fourier généralisés p. 10–12

Formule de Parseval · Fonctions presque-périodiques · Projection orthogonale et moindres carrés · Séries entières · Équations différentielles linéaires · Ensembles et dénombrabilité · Convergence uniforme et normale — égalité de Bessel, inégalité de Bessel, forme hermitienne positive, spectre dénombrable, convergence normale, lemme de Riemann-Lebesgue

Partie V — Fonctions presque périodiques p. 12–14

Fonctions presque-périodiques · Compacité · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Convergence uniforme et normale · Densité — fonctions presque périodiques, presque-périodes, ensemble relativement dense, fonctions normales de Bochner, propriété de Borel-Lebesgue, précompacité

Partie VI — Injectivité des coefficients de Fourier généralisés p. 14–15

Fonctions presque-périodiques · Formule de Parseval · Séries de Fourier · Convergence uniforme et normale · Familles sommables et produit de Cauchy — injectivité des coefficients de Fourier, égalité de Parseval, spectre fini, convergence normale de la série de Fourier

Dans l'édifice

Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Espaces de Hilbert et théorème de projection Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Systèmes linéaires et exponentielle de matrices La demi-droite achevée et les sommes positives Équipotence et comparaison des ensembles Théorème de Cantor-Bernstein ℕ × ℕ, ℤ et ℚ sont dénombrables Intérieur, adhérence Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Applications linéaires Théorème du rang Théorème de représentation de Riesz ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure Un corps ordonné complet est archimédien Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Intégrale de Riemann