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Agrégation interne 2013 — Épreuve 2

Surjectivité de l'application $a \mapsto a \exp a$ · 6 pages

Le sujet construit une norme d'algèbre sur toute $\mathbb{C}$ -algèbre unitaire de dimension finie et établit des identités d'Abel. Dans une telle algèbre normée, il montre que la série $\omega(a)$ des $(-1)^{n-1} n^{n-1} a^n/n!$ , de rayon $1/e$ , est réciproque de $\Phi(a) = a \exp a$ au voisinage de $0$ . Il prouve ensuite que $z \mapsto z e^z$ est surjective sur $\mathbb{C}$ , par l'absurde, en majorant la partie réelle d'une fonction entière ; enfin, en réduisant aux blocs $\lambda I + U$ avec $U$ nilpotente et en composant des polynômes, il établit la surjectivité de $A \mapsto A \exp A$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ .

Le sujet, partie par partie

Préliminaire et Partie I — Premiers résultats p. 1–2

Algèbres et sous-algèbres · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Polynômes · Coefficients binomiaux · Espaces vectoriels et dimension · Développements limités — norme d'algèbre, algèbre normée de dimension finie, identité d'Abel, polynômes d'Abel, base de polynômes, formule de Taylor généralisée

Partie II — La fonction $a \mapsto a \exp a$ p. 3–4

Séries entières · Familles sommables et produit de Cauchy · Algèbres et sous-algèbres · Exponentielle de matrices · Dérivabilité — fonction $W$ de Lambert, rayon de convergence $1/e$ , suites doubles sommables, produit de Cauchy, inversion locale d'une série entière, exponentielle dans une algèbre

Partie III — Le cas $\mathcal{A} = \mathbb{C}$ p. 5

Analyse complexe · Séries entières · Séries de Fourier · Nombres complexes — fonction entière, partie réelle d'une fonction entière, logarithme d'une fonction entière sans zéro, surjectivité de $z \exp z$ , coefficients par intégrale sur un cercle, théorème de type Liouville

Partie IV — Le cas $\mathcal{A} = \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ p. 6

Nilpotents, Jordan, Dunford · Polynômes d'endomorphismes · Polynômes · Séries formelles · Applications linéaires et rang · Exponentielle de matrices — matrice nilpotente, sous-espaces caractéristiques, composition de polynômes, automorphisme de l'espace des polynômes de degré au plus $n$ , surjectivité de $A \exp A$

Dans l'édifice

Modules sur un anneau commutatif Algèbre de Lie d'un sous-groupe fermé Applications linéaires continues et dual topologique Anneaux de polynômes Ensembles finis et principe des tiroirs Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Dérivabilité Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques La demi-droite achevée et les sommes positives L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Matrices d'une application linéaire Applications linéaires