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Agrégation interne 2022 — Épreuve 1

L'équation de Fermat matricielle $X^n + Y^n = Z^n$ · 11 pages

Le problème cherche des solutions non nulles de l'équation matricielle $X^n + Y^n = Z^n$ . Dans les matrices symétriques positives, l'existence et l'unicité d'une racine $n$ -ième fournit une bijection explicite avec les couples de telles matrices. Dans $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ , des arguments de traces et de congruences (modulo 8 et modulo 9, réduction dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ ) excluent les cas où 4 ou 3 divise $n$ , tandis que des matrices périodiques donnent des solutions dans les autres cas. Les dernières parties étudient les réseaux de $\mathbb{Q}^n$ (existence d'une $\mathbb{Z}$ -base) et montrent qu'un sous-groupe de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Q})$ engendré par $A$ et $B$ est conjugué à un sous-groupe de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ dès que $\operatorname{Tr} A$ , $\operatorname{Tr} B$ et $\det(A + B)$ sont entiers, ce qui permet de ramener des solutions rationnelles à des puissances entières.

Le sujet, partie par partie

Vrai ou faux et exercice préliminaire — Matrice compagnon et Cayley-Hamilton p. 3–4

Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Endomorphismes cycliques et matrice compagnon · Matrices remarquables · Déterminants · Anneaux et idéaux · Diagonalisation — matrice compagnon, polynôme caractéristique, théorème de Cayley-Hamilton, trace, morphisme d'anneaux

Partie I — Exemple dans les matrices symétriques positives p. 4–5

Matrices symétriques positives · Théorème spectral · Sous-espaces stables · Endomorphismes symétriques, théorème spectral — racine $n$ -ième d'une matrice symétrique positive, unicité de la racine, sous-espaces propres, endomorphisme symétrique

Partie II — Cas $n \equiv 0 \pmod{4}$ dans $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ p. 5

Congruences et Z/nZ · Groupes de matrices · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ , trace de $M^4$ , congruences modulo 8, équation de Fermat matricielle

Parties III à V — Le corps $\mathbb{Q}[\delta]$ et la conjugaison de matrices p. 5–7

Corps et extensions · Calcul matriciel · Groupes de matrices · Entiers algébriques et équations diophantiennes · Déterminants · Espaces vectoriels et dimension — corps quadratique, conjugaison dans le corps $\mathbb{Q}(\delta)$ , norme $N(x)$ , matrices semblables, $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Q})$

Partie VI — Cas $n \equiv 0 \pmod{3}$ dans $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ p. 7–8

Congruences et Z/nZ · Groupes de matrices · Corps finis · Trigonalisation · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — congruences modulo 9, réduction dans $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ , trace de $M^3$ , matrices unipotentes, descente infinie

Partie VII — Solutions dans $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ quand 3 et 4 ne divisent pas $n$ p. 8–9

Groupes de matrices · Diagonalisation · Congruences et Z/nZ · Racines et relations coefficients-racines — matrice périodique, racines de l'unité, matrices de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ , discussion selon $n$ modulo 12

Partie VIII — Réseaux de $\mathbb{Q}^n$ p. 9

Groupes · Espaces vectoriels et dimension · PGCD, Bézout, Gauss — réseau, sous-groupe additif de $\mathbb{Q}^n$ , $\mathbb{Z}$ -base, récurrence sur la dimension

Partie IX — Sous-groupes de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Q})$ semblables à un sous-groupe de $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ p. 10–11

Groupes de matrices · Groupes · Calcul matriciel · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton — sous-groupe engendré, $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Q})$ , conjugaison dans $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ , réseau stable, trace entière

Dans l'édifice

Déterminant d'un endomorphisme Matrices d'une application linéaire Formes multilinéaires alternées Anneaux Idéaux d'un anneau commutatif Anneau quotient et théorème d'isomorphisme Idéaux premiers et maximaux Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires Les anneaux ℤ/nℤ Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Corps Extensions de corps et multiplicativité des degrés Éléments algébriques et polynôme minimal Corps de décomposition Entiers algébriques Anneaux d'entiers des corps quadratiques Entiers de Gauss et théorème des deux carrés Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Corps finis Anneaux de polynômes Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient

Agrégation interne 2022 — Épreuve 1

Le sujet, partie par partie

Vrai ou faux et exercice préliminaire — Matrice compagnon et Cayley-Hamilton p. 3–4

Partie I — Exemple dans les matrices symétriques positives p. 4–5

Partie II — Cas n≡0(mod4)n \equiv 0 \pmod{4} dans SL2(ℤ)\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) p. 5

Parties III à V — Le corps ℚ[δ]\mathbb{Q}[\delta] et la conjugaison de matrices p. 5–7

Partie VI — Cas n≡0(mod3)n \equiv 0 \pmod{3} dans SL2(ℤ)\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) p. 7–8

Partie VII — Solutions dans SL2(ℤ)\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) quand 3 et 4 ne divisent pas nn p. 8–9

Partie VIII — Réseaux de ℚn\mathbb{Q}^n p. 9

Partie IX — Sous-groupes de SL2(ℚ)\mathrm{SL}_2(\mathbb{Q}) semblables à un sous-groupe de SL2(ℤ)\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) p. 10–11