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CCINP PSI 2017 — Mathématiques

Transformée de Cayley des matrices antisymétriques ; phénomène de Gibbs · 8 pages

Le problème d'algèbre montre que les valeurs propres d'une matrice antisymétrique réelle sont imaginaires pures, que $R = (I + A)^{-1}(I - A)$ est alors une matrice orthogonale de déterminant 1, et réciproquement que toute matrice orthogonale $R$ telle que $I + R$ est inversible s'écrit ainsi, en particulier toute rotation de $\mathbb{R}^3$ d'angle $\theta \in \left]-\pi, \pi\right[$ . Le problème d'analyse établit des lemmes de Riemann-Lebesgue, calcule l'intégrale de Dirichlet $\int_0^\infty \sin(t)/t \,\mathrm{d}t = \pi/2$ par une transformée de Laplace solution de $y'' + y = 1/x$ , puis met en évidence le phénomène de Gibbs pour la série de Fourier d'un signal créneau, dont le dépassement limite dépasse $0{,}17$ .

Le sujet, partie par partie

Problème 1, partie I — Un exemple en dimension 2 p. 2

Matrices orthogonales et rotations · Réduction des endomorphismes · Nombres complexes — matrice antisymétrique, transformée de Cayley, matrice de rotation, groupe spécial orthogonal

Problème 1, partie II — Matrices antisymétriques et matrices orthogonales p. 2–3

Matrices orthogonales et rotations · Réduction des endomorphismes · Déterminants · Isométries et groupe orthogonal — transformée de Cayley, matrice antisymétrique, valeurs propres imaginaires pures, matrice orthogonale, rotation de l'espace, matrices qui commutent

Problème 2, partie I — Lemmes de Riemann-Lebesgue p. 3–4

Intégrale sur un segment · Théorème de Weierstrass · Convergence uniforme et normale · Séries de Fourier — lemme de Riemann-Lebesgue, intégration par parties, fonction périodique de moyenne nulle, théorème de Weierstrass, fonction continue par morceaux

Problème 2, partie II — L'intégrale de Dirichlet p. 4–5

Intégrales généralisées et intégrabilité · Intégrales à paramètre · Fonctions spéciales · Transformées de Fourier et de Laplace · Équations linéaires d'ordre 2 — intégrale de Dirichlet, intégrale semi-convergente, transformée de Laplace, variation des constantes, dérivation sous l'intégrale, $\sin(t)/t$

Problème 2, partie III — Phénomène de Gibbs p. 5–6

Convergence des séries de Fourier · Convergence uniforme et normale · Séries alternées · Interversion des limites · Séries entières — phénomène de Gibbs, signal créneau, sommes partielles de Fourier, série de Leibniz $\pi/4$ , convergence simple non uniforme, sinus intégral

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Matrices d'une application linéaire Déterminant d'un endomorphisme Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Formes multilinéaires alternées Groupes de Lie et groupes de matrices Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée La fonction zêta de Riemann et son prolongement Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Suites, séries et parties compactes de ℂ Une série entière est holomorphe Séries entières et rayon de convergence Les fonctions holomorphes sont analytiques