AnnalesÉcoles d'ingénieurs

CCINP PSI 2024 — Mathématiques

File d'attente, formule de Stirling et blocs de Jordan · 8 pages

Le premier problème modélise une file d'attente : les temps d'arrivée suivent des lois géométriques et le temps d'arrivée du $n$ -ième client une loi binomiale négative obtenue par fonction génératrice ; l'étude des groupes de clients servis conduit à la suite $z_{n+1} = \exp(\lambda p(z_n - 1))$ , dont la limite selon la position de $\lambda p$ par rapport à $1$ décide si la file finit par se vider. Un exercice établit la formule de Stirling grâce à la fonction $\Gamma$ et à la formule de Gauss $\Gamma(x) = \lim n^x n!/(x(x+1)\cdots(x+n))$ . Le second problème montre qu'un bloc de Jordan n'admet pas de décomposition en somme directe de sous-espaces stables non triviaux, puis étudie le caractère borné des solutions de $X' = J_\lambda X$ selon le signe de $\lambda$ .

Le sujet, partie par partie

Problème 1, Partie I — Temps d'arrivée du $n$ -ième client p. 2

Loi géométrique · Fonctions génératrices · Espérance, variance, moments · Couples et sommes de variables aléatoires · Séries entières — loi géométrique, fonction génératrice, loi binomiale négative, développement de $(1+x)^\alpha$ , somme de variables indépendantes

Problème 1, Partie II.1 — Une suite récurrente p. 3

Suites numériques · Points fixes et suites itératives · Dérivabilité — suite récurrente, point fixe, suite monotone, étude de fonction

Problème 1, Partie II.2 — Groupes de clients p. 3–4

Processus de branchement et urnes · Loi de Poisson · Probabilités totales et formule de Bayes · Lois de Bernoulli et binomiale · Conditionnement et indépendance — processus de branchement, probabilité d'extinction, loi de Poisson, formule des probabilités totales, file d'attente

Exercice — Équivalent de Stirling p. 4–5

Formule de Stirling · Fonctions Gamma et Bêta · Convergence dominée · Séries numériques · Intégrales généralisées et intégrabilité — formule de Stirling, fonction Gamma, formule de Gauss, convergence dominée, intégrale de Gauss

Problème 2, Partie I — Irréductibilité de $J_\lambda$ p. 6–7

Nilpotents, Jordan, Dunford · Sous-espaces stables · Matrices par blocs · Réduction des endomorphismes — bloc de Jordan, matrice nilpotente, indice de nilpotence, endomorphisme induit, endomorphisme indécomposable

Problème 2, Partie II — Stabilité du système linéaire p. 7–8

Systèmes différentiels linéaires · Exponentielle de matrices · Espaces vectoriels normés · Inégalité de Cauchy-Schwarz — exponentielle de matrice, système différentiel linéaire, solutions bornées, norme de Frobenius

Dans l'édifice

Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Séries entières et rayon de convergence Espérance, variance et inégalités Indépendance d'événements et de tribus Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ Théorème du point fixe de Banach Théorème du point fixe de Knaster-Tarski Dérivabilité Martingales et temps d'arrêt Lois de Poisson et loi exponentielle Intégrale de Riemann Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Matrices d'une application linéaire Applications linéaires Déterminant d'un endomorphisme Systèmes linéaires et exponentielle de matrices L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique