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Centrale-Supélec MP 2014 — Maths 1

Fonctions définies sur des espaces de matrices · 3 pages

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Le sujet munit $\mathcal{M}_d(\mathbb{R})$ de la norme associée au produit scalaire $(A, B) \mapsto \operatorname{Tr}({}^t\!A B)$ , sous-multiplicative, et montre que pour $\|A\| < R$ la somme $\varphi(A) = \sum a_n A^n$ d'une série entière de matrices est un polynôme en $A$ de degré strictement inférieur au degré du polynôme minimal. Il en tire deux applications : la formule $\cos(A)^2 + \sin(A)^2 = I_d$ par produit de Cauchy d'exponentielles, et une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton par une intégrale de type Cauchy de la résolvante. Il montre ensuite que les solutions continues de l'équation fonctionnelle $2f(x + y) = f(2x) + f(2y)$ sont affines, et l'utilise pour déterminer les fonctions continues $\xi$ telles que la matrice $(\xi(A_{i,j}))$ soit inversible dès que $A$ l'est : une telle $\xi$ est impaire et de la forme $x \mapsto C x^\beta$ sur $\mathbb{R}_+^*$ , et le déterminant des matrices à diagonale constante $\lambda$ et coefficients $1$ hors diagonale permet de conclure.

Le sujet, partie par partie

Partie I — Une norme utile sur $\mathcal{M}_d(\mathbb{R})$ p. 1

Topologie des espaces de matrices · Espaces préhilbertiens et euclidiens · Continuité · Inégalité de Cauchy-Schwarz — norme de Frobenius, produit scalaire trace, norme sous-multiplicative, continuité d'une fonction polynomiale de matrices

Partie II — Séries entières de matrices p. 1

Séries entières · Polynômes d'endomorphismes · Exponentielle de matrices · Normes équivalentes · Espaces vectoriels et dimension — série entière de matrices, rayon de convergence, polynôme minimal, famille liée de puissances, exponentielle de matrice, convergence absolue

Partie III — Deux applications : trigonométrie matricielle et théorème de Cayley-Hamilton p. 2

Exponentielle de matrices · Polynôme caractéristique et Cayley-Hamilton · Familles sommables et produit de Cauchy · Intégrales à paramètre · Déterminants · Séries entières — produit de Cauchy, cosinus et sinus de matrices, théorème de Cayley-Hamilton, résolvante, comatrice, formule intégrale de Cauchy

Partie IV — Étude d'une équation fonctionnelle p. 2

Équations fonctionnelles · Dérivabilité · Intégrale sur un segment · Espaces vectoriels et dimension — équation fonctionnelle, régularisation par primitive, fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ , fonctions affines, primitive

Partie V — Étude d'une autre fonction matricielle p. 3

Déterminants · Équations fonctionnelles · Continuité · Groupes de matrices · Matrices par blocs — préservation de l'inversibilité, fonction appliquée coefficient par coefficient, fonction strictement monotone, prolongement impair d'une fonction puissance, déterminant à diagonale constante, bijection réciproque

Dans l'édifice

Le groupe linéaire et l'inversion des matrices Groupe topologique Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Applications linéaires Anneaux de polynômes L'exponentielle, difféomorphisme local en 0 Sous-groupes à un paramètre de GLₙ Normes en dimension finie Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Déterminant d'un endomorphisme La demi-droite achevée et les sommes positives Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Formes multilinéaires alternées Dérivabilité Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Groupes de Lie et groupes de matrices Théorème de Cartan-von Neumann Matrices d'une application linéaire