AnnalesÉcoles d'ingénieurs

e3a-Polytech MPI 2024 — Mathématiques

Transformation intégrale à noyau $\arctan$ , produit scalaire sur les polynômes, boules dans des cases et matrices équitables · 8 pages

Sujet (PDF)Rapport du jury

Quatre exercices indépendants. Le premier étudie l'endomorphisme $\Phi$ qui associe à une fonction continue bornée $f$ la fonction $x \mapsto \int_0^{+\infty} \arctan(tx) f(t)/(1+t^2) \,\mathrm{d}t$ , puis la fonction $g = \Phi(1)$ : limite, dérivée sous forme intégrale et expression explicite. Le deuxième munit les polynômes complexes de degré au plus $n$ du produit scalaire défini par une intégrale sur le cercle unité et en déduit que le maximum du module d'un polynôme unitaire sur le cercle est au moins $1$ , avec égalité seulement pour $X^n$ . Le troisième calcule, par une fonction génératrice, l'espérance du nombre de cases non vides après $n$ lancers de boules dans $N$ cases ; le quatrième étudie les matrices « équitables » ( $a_{ij} a_{jk} = a_{ik}$ ) : celles qui sont non nulles sont de rang 1 et semblables à $\operatorname{diag}(n, 0, \dots, 0)$ , et il dénombre celles à coefficients dans un sous-groupe fini de $\mathbb{K}^*$ .

Le sujet, partie par partie

Exercice 1 — Une transformation intégrale à noyau $\arctan$ p. 2–3

Intégrales à paramètre · Intégrales généralisées et intégrabilité · Convergence uniforme et normale · Fractions rationnelles · Dérivabilité · Opérateurs et théorie spectrale — fonction arctangente, intégrale à paramètre, dérivation sous l'intégrale, fonctions continues bornées, norme infinie, décomposition en éléments simples, limite uniforme de fonctions continues

Exercice 2 — Produit scalaire hermitien sur les polynômes et maximum sur le cercle unité p. 3–4

Espaces préhilbertiens et euclidiens · Polynômes · Nombres complexes · Intégrale sur un segment — produit scalaire hermitien, cercle unité, polynôme unitaire, coefficients d'un polynôme, intégrale sur le cercle, trace et valeurs propres

Exercice 3 — Nombre de cases non vides (boules dans des urnes) p. 4–5

Fonctions génératrices · Espérance, variance, moments · Suites récurrentes linéaires · Conditionnement et indépendance · Variables aléatoires et lois usuelles — suite arithmético-géométrique, fonction génératrice, espérance, nombre de cases non vides, variables indicatrices, linéarité de l'espérance

Exercice 4 — Matrices équitables p. 5

Matrices remarquables · Diagonalisation · Dénombrement et combinatoire · Groupes · Applications linéaires et rang — matrice de rang 1, matrices semblables, matrice dont tous les coefficients valent 1, matrice symétrique à coefficients $\pm 1$ , sous-groupe fini de $\mathbb{K}^*$ , racines de l'unité

Dans l'édifice

Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Corps des fractions d'un anneau intègre Dérivabilité Applications linéaires continues et dual topologique Théorème de Banach-Steinhaus Espaces de Hilbert et théorème de projection Théorème de représentation de Riesz Anneaux de polynômes Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Intégrale de Riemann Théorème fondamental de l'analyse Séries entières et rayon de convergence Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Espérance, variance et inégalités Suites réelles et limites Matrices d'une application linéaire Indépendance d'événements et de tribus Lois de Poisson et loi exponentielle Ensembles finis et principe des tiroirs Sommes, produits et puissances Groupes Sous-groupes Morphismes de groupes Groupe quotient