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Mines-Ponts PSI 2021 — Maths 1

Variables aléatoires entières symétriques à forte dispersion · 6 pages

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Le sujet étudie des variables entières symétriques vérifiant $\mathbb{P}(|X| \geqslant n) = \alpha/n + O(1/n^2)$ , qui n'ont pas d'espérance. Il calcule les sommes $\sum z^n/n$ , $\sum \cos(n\theta)/n$ et $\sum \sin(n\theta)/n$ à l'aide d'intégrales à paramètre, puis montre que la fonction caractéristique vérifie $\Phi_X(t) = 1 - (\pi\alpha/2)t + o(t)$ . Il en déduit que la fonction caractéristique de la moyenne empirique $M_n$ converge simplement vers $\exp(-\pi\alpha|t|/2)$ , celle d'une loi de Cauchy.

Le sujet, partie par partie

Questions de cours et généralités sur les variables aléatoires p. 2–3

Espérance, variance, moments · Variables aléatoires et lois usuelles · Couples et sommes de variables aléatoires · Séries numériques — espérance finie, variable symétrique, théorème de transfert, indépendance, absence d'espérance

Deux sommes de séries p. 3–4

Intégrales à paramètre · Séries de Fourier · Développements limités · Nombres complexes · Compacité — formule de Taylor avec reste intégral, série de $\cos(n\theta)/n$ , série de $\sin(n\theta)/n$ , dérivation sous le signe intégrale, logarithme complexe

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire symétrique p. 4–5

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire · Développements asymptotiques · Séries numériques · Séries de Fourier · Continuité · Variables aléatoires et lois usuelles — fonction caractéristique, transformation d'Abel, développement asymptotique en $0$ , queue de distribution

Convergence simple des fonctions caractéristiques des moyennes empiriques p. 5–6

Fonction caractéristique d'une variable aléatoire · Lois des grands nombres et théorèmes limites · Couples et sommes de variables aléatoires · Convergence uniforme et normale · Suites numériques — moyenne empirique, loi de Cauchy, convergence en loi, indépendance, fonction caractéristique d'une somme

Dans l'édifice

Espérance, variance et inégalités Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition Lois de Poisson et loi exponentielle Indépendance d'événements et de tribus Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Dérivabilité Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Compacité Fonctions caractéristiques des variables aléatoires Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Théorème central limite (méthode de Lindeberg)Convergence presque sûre, en probabilité, en moyenne Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Suites réelles et limites Théorème de Bolzano-Weierstrass Complétude de ℝ