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X-ENS MP 2015 — Maths B

Développements asymptotiques d'intégrales, série divergente, polynômes trigonométriques et flot linéaire sur le tore · 7 pages

Sujet (PDF)

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La première partie établit un lemme de type Watson donnant le développement asymptotique de $F(x) = \int e^{-t/x} f(t) \,\mathrm{d}t$ quand $x \to 0^+$ , puis l'applique, après le changement de variable par $\varphi(s) = s - \ln(1+s)$ , pour obtenir $\Gamma(y) = e^{-y} y^y (2\pi/y)^{1/2} (1 + 1/(12y) + o(1/y))$ . La deuxième partie montre qu'une série divergente fournit une bonne approximation de $F(x) = \int_1^\infty e^{-t/x} t^{-1} \,\mathrm{d}t$ , le reste étant de l'ordre du premier terme négligé. La troisième démontre la densité des polynômes trigonométriques en deux variables dans les fonctions continues périodiques, et la quatrième étudie un système différentiel sur le tore : pour $\omega$ non résonnant, la primitive $F$ de $f(\omega t)$ est en $o(t)$ , puis un développement de la solution perturbée.

Le sujet, partie par partie

Première partie — Lemme de Watson et formule de Stirling pour $\Gamma$ p. 1–3

Méthode de Laplace et phase stationnaire · Fonctions Gamma et Bêta · Formule de Stirling · Séries entières · Intégrales généralisées et intégrabilité · Développements limités — lemme de Watson, fonction Gamma, développement asymptotique d'intégrales, inversion d'une série entière, bijection réciproque, formule de Stirling

Deuxième partie — Une série divergente utile p. 3–4

Développements asymptotiques · Intégrales à paramètre · Méthode de Laplace et phase stationnaire · Équivalents et comparaison · Intégrales généralisées et intégrabilité · Séries entières · Analyse numérique — série divergente, développement asymptotique, reste de l'ordre du premier terme négligé, intégration par parties, erreur relative, intégrale exponentielle

Troisième partie — Densité des polynômes trigonométriques en plusieurs variables p. 4–5

Théorème de Weierstrass · Densité · Séries de Fourier · Continuité — polynôme trigonométrique, fonctions périodiques, norme uniforme, fonctions à variables séparées, interpolation affine par morceaux, uniforme continuité, densité

Quatrième partie — Flot linéaire sur le tore et perturbation p. 6–7

Équirépartition · Équations différentielles non linéaires · Séries de Fourier · Calcul différentiel · Intégrales multiples · Théorème de Cauchy-Lipschitz — vecteur résonnant, moyenne d'une fonction périodique, flot linéaire sur le tore, équation homologique, développement asymptotique d'une solution, polynôme trigonométrique

Dans l'édifice

Dérivabilité Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Intégrale de Riemann Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Théorème de convergence dominée Suites réelles et limites Théorème du point fixe de Banach Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Intérieur, adhérence Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Théorème de Cauchy-Lipschitz local Solutions maximales et critère d'explosion Lemme de Grönwall et dépendance par rapport aux conditions initiales Flot d'un champ de vecteurs Applications différentiables Fonctions de classe Cᵏ Inégalité des accroissements finis Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit