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X-ENS MP 2019 — Maths D

Annulation de séries de Dirichlet tordues par des fonctions périodiques · 10 pages

Le problème cherche quand une fonction $f$ impaire et $p$ -périodique vérifie $D_k(1, f) = 0$ , où $D_k(s, f)$ est la série de Dirichlet de $\tau_k \cdot f$ et $\tau_k = 1 \ast \cdots \ast 1$ compte les factorisations en $k$ facteurs. Après les outils de sommation (Abel, méthode de l'hyperbole, produit eulérien), il introduit les caractères modulo $p$ , exprime $D_k(1, f)$ à l'aide de sommes de cotangentes, de sommes de Gauss et des valeurs $L(1, \chi)$ , puis, par un argument d'automorphismes de $\mathbb{Q}(\xi_p)$ et un calcul de déterminant circulant, montre que pour $f$ à valeurs rationnelles et $k$ premier à $p - 1$ , $D_k(1, f) = 0$ force $f = 0$ dès que les $L(1, \chi)$ des caractères impairs sont non nuls.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Séries de Dirichlet et formules de sommation p. 3–5

Séries de Dirichlet · Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius · Produits infinis · Fonction zêta de Riemann · Intégrales à paramètre — convolution de Dirichlet, sommation d'Abel, méthode de l'hyperbole, produit eulérien, fonction complètement multiplicative, fonction sommatoire, fonction zêta

Partie II — Caractères modulo $p$ p. 5–6

Caractères de Dirichlet et fonctions L · Groupes cycliques et ordre · Séries de Dirichlet · Congruences et Z/nZ · Représentations des groupes finis · Fonctions arithmétiques et fonction de Möbius — caractère de Dirichlet, caractère principal, groupe dual, cyclicité de $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*$ , relations d'orthogonalité, nombre de diviseurs, fonctions $L$ de Dirichlet

Partie III — Calculs autour de $D_k(1, f)$ p. 6–8

Caractères de Dirichlet et fonctions L · Séries de Dirichlet · Séries de Fourier · Nombres complexes · Fonction zêta de Riemann · Polynômes et nombres de Bernoulli — sommes de Gauss, cotangente, fonction de Bernoulli, partie fractionnaire, valeur en $1$ d'une fonction $L$ , caractère impair, série de Fourier de la fonction en dents de scie

Partie IV — Un peu d'algèbre linéaire p. 8–10

Corps et extensions · Polynômes cyclotomiques · Déterminants · Matrices remarquables · Théorie de Galois · Diagonalisation · Caractères de Dirichlet et fonctions L · Groupes cycliques et ordre — polynôme minimal d'un algébrique, critère d'Eisenstein, corps cyclotomique, automorphismes de $\mathbb{Q}(\xi_p)$ , matrice circulante, déterminant circulant, non-annulation de $L$ en $1$

Dans l'édifice

Sommation d'Abel et intégrales impropres La fonction zêta de Riemann et son prolongement Produit eulérien et non-annulation de ζ sur Re s > 1 Théorème fondamental de l'arithmétique Suites, séries et parties compactes de ℂ Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Théorie analytique des nombres Sous-groupes Les anneaux ℤ/nℤ Groupes Matrices d'une application linéaire Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Conjugaison et module Racines carrées et équations du second degré La fonction exponentielle Anneaux de polynômes Corps Extensions de corps et multiplicativité des degrés Éléments algébriques et polynôme minimal Corps de décomposition Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Extensions galoisiennes La correspondance de Galois Le théorème de Galois sur les radicaux