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Agrégation externe 2013 — Analyse et probabilités

Espaces de Müntz · 13 pages

Pour une suite strictement croissante d'entiers $\Lambda$ , le sujet étudie l'adhérence $M_\Lambda$ dans $\mathcal{C}([0, 1])$ de l'espace engendré par les monômes $t^\lambda$ , $\lambda \in \Lambda$ . Il démontre le théorème de Müntz (densité lorsque $\sum 1/\lambda_n$ diverge, avec $\lambda_0 = 0$ ) et, dans le cas convergent, construit à l'aide d'un produit de Blaschke une fonction orthogonale à $M_\Lambda$ , ce qui donne le théorème de Clarkson-Erdős : les éléments de $M_\Lambda$ sont des séries $\sum a_i x^{\lambda_i}$ sur $\left[0, 1\right[$ . Il montre ensuite que les sous-espaces fermés de fonctions $\mathcal{C}^1$ sur $\left[0, 1\right[$ ont un dual séparable alors que celui de $\mathcal{C}([0, 1])$ ne l'est pas, minore les normes de projections à l'aide des constantes de Lebesgue, et construit l'exemple de Newman d'un espace de Müntz non complémenté.

Le sujet, partie par partie

Rappels, notations et Partie I — Préliminaires p. 2–4

Séries de Fourier · Intégrales généralisées et intégrabilité · Espaces vectoriels normés · Séries numériques · Équivalents et comparaison · Dualité — noyau de Dirichlet, constantes de Lebesgue, croissance logarithmique, série à termes décroissants, espace des suites convergentes, espace $c_0$ , isomorphisme d'espaces de Banach

Partie II — Un produit de Blaschke p. 5–6

Produits infinis · Analyse complexe · Intégrales généralisées et intégrabilité · Transformée de Mellin · Convergence uniforme et normale — produit de Blaschke, produit infini de fonctions holomorphes, convergence uniforme sur tout compact, formule de Cauchy, demi-plan, représentation intégrale

Partie III — Espaces de Müntz et théorème de Clarkson-Erdős p. 6–9

Théorème de Weierstrass · Approximation des fonctions · Densité · Espaces de Banach et analyse fonctionnelle · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Séries entières · Produits infinis — théorème de Müntz, théorème de Clarkson-Erdős, espace de Müntz, distance à un sous-espace, série lacunaire, densité des polynômes

Partie IV — Être ou ne pas être à dual séparable p. 9–10

Espaces de Banach et analyse fonctionnelle · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Ensembles et dénombrabilité · Dualité · Compacité — espace séparable, dual topologique, théorème de Banach-Steinhaus, théorème de Hahn-Banach, formes linéaires d'évaluation, espaces de fonctions $\mathcal{C}^1$

Partie V — Normes de projections p. 10–11

Séries de Fourier · Normes subordonnées et applications linéaires continues · Approximation des fonctions · Espaces de Banach et analyse fonctionnelle — projection continue, constantes de Lebesgue, polynômes trigonométriques, sommes partielles de Fourier, norme d'une projection

Partie VI — Un exemple dû à D. Newman p. 11–12

Espaces de Banach et analyse fonctionnelle · Approximation des fonctions · Polynômes · Inégalités classiques · Normes équivalentes — espace non complémenté, inégalité de type Markov $\|P'\|_\infty \leqslant \Delta(d)\|P\|_\infty$ , sous-espace complémenté, projection continue, polynômes lacunaires

Dans l'édifice

Système trigonométrique et coefficients de Fourier Le système trigonométrique est une base hilbertienne Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Normes en dimension finie Applications linéaires continues et dual topologique Suites, séries et parties compactes de ℂ La demi-droite achevée et les sommes positives Suites réelles et limites Espace dual Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Transformée de Fourier des fonctions intégrables La fonction zêta de Riemann et son prolongement Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Intérieur, adhérence Théorème de Banach-Steinhaus Théorème de Hahn-Banach Espaces de Hilbert et théorème de projection Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Séries entières et rayon de convergence