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Agrégation externe 2015 — Analyse et probabilités

Matrices hermitiennes aléatoires : localisation du spectre et loi du demi-cercle · 12 pages

Le sujet étudie l'ensemble gaussien des matrices hermitiennes (mesure $P_n$ proportionnelle à $e^{-\operatorname{Tr} M^2}$ sur $\mathcal{H}_n(\mathbb{C})$ ). À l'aide des polynômes d'Hermite, du noyau $K_n(x, y) = \sum_{k<n} H_k(x)H_k(y)/(2^k k!)$ et de la formule d'intégration de Weyl, il exprime les statistiques des valeurs propres par des déterminants de $K_n$ , montre que la probabilité d'avoir $k$ valeurs propres dans un intervalle $[a/\sqrt{2n}, b/\sqrt{2n}]$ converge vers une quantité gouvernée par le noyau sinus $\sin(x - y)/(x - y)$ , puis prouve, via la transformée de Stieltjes et les distributions, que la mesure spectrale moyenne de $M/\sqrt{n}$ converge vers la loi du demi-cercle de densité $\sqrt{2 - t^2}/\pi$ sur $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ .

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Polynômes d'Hermite p. 2–4

Polynômes de Hermite · Séries entières · Transformées de Fourier et de Laplace · Méthode de Laplace et phase stationnaire · Polynômes orthogonaux — polynômes d'Hermite, série génératrice, relation de récurrence à trois termes, formule de Christoffel-Darboux, orthogonalité, transformée de Fourier de la gaussienne, méthode de Laplace

Partie II — Projection orthogonale sur $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ p. 4–5

Projection orthogonale et moindres carrés · Déterminants · Polynômes orthogonaux · Noyaux reproduisants · Groupe symétrique · Intégrales multiples — noyau reproduisant, projecteur orthogonal, déterminant de Vandermonde, intégrale de Mehta, développement d'un déterminant, espace $L^2$ gaussien

Partie III — Holomorphie p. 5–6

Analyse complexe · Convergence uniforme et normale · Compacité — détermination du logarithme, théorème des résidus, transformée de Stieltjes, théorème de Montel, convergence uniforme sur tout compact, loi du demi-cercle

Notations complémentaires et Partie IV — Intégration et probabilités sur $\mathcal{H}_n(\mathbb{C})$ p. 7–9

Matrices et graphes aléatoires · Loi normale et vecteurs gaussiens · Intégrales multiples · Déterminants · Groupe symétrique · Théorie de la mesure — matrices hermitiennes, groupe unitaire, formule d'intégration de Weyl, ensemble gaussien unitaire, densité des valeurs propres, variables gaussiennes indépendantes

Partie V — Localisation du spectre p. 9–11

Matrices et graphes aléatoires · Analyse complexe · Déterminants · Convergence dominée · Inégalités classiques · Coefficients binomiaux — nombre de valeurs propres dans un intervalle, noyau sinus, fonction génératrice holomorphe, inégalité de Hadamard, déterminant de Fredholm, convergence dans $\mathcal{O}(\mathbb{C})$

Partie VI — Loi du demi-cercle p. 11–12

Matrices et graphes aléatoires · Distributions · Analyse complexe · Théorème central limite et convergence en loi · Intégrales multiples — loi du demi-cercle de Wigner, transformée de Stieltjes, opérateur d-barre, solution fondamentale, convergence au sens des distributions, mesure spectrale moyenne

Dans l'édifice

Anneaux de polynômes Séries entières et rayon de convergence Une série entière est holomorphe Les fonctions holomorphes sont analytiques Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Dérivabilité Espaces de Hilbert et théorème de projection Déterminant d'un endomorphisme Formes multilinéaires alternées Groupe symétrique et signature Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Compacité Variables aléatoires, lois, fonctions de répartition La loi normale Tribus et tribu borélienne Mesures et premières propriétés La mesure de Lebesgue sur ℝ Fonctions mesurables Théorème de convergence dominée Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Ensembles finis et principe des tiroirs