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Agrégation externe 2018 — Analyse et probabilités

Transformées de Laplace et de Fourier, espaces de Sobolev et compacité · 9 pages

Le sujet établit l'holomorphie et l'injectivité de la transformée de Laplace et l'utilise pour résoudre $y'' + y = 2\cos t$ , puis calcule des transformées de Fourier (indicatrice, gaussienne par un contour, $e^{-|x|}$ ) pour résoudre $y'' - y = f$ au sens fort et au sens faible. Il étudie ensuite la transformée de Fourier en dimension 2, montre que l'espace $H^\alpha$ défini par le poids $1 + \|\xi\|^{2\alpha}$ est un espace de Hilbert et donne un critère de relative compacité dans $L^2$ . Les deux dernières parties prouvent que les moyennes $\rho_n(x) = \int f_n(x, k)\, \varphi(k)\,\mathrm{d}k$ forment une partie relativement compacte de $L^2$ , d'abord en les bornant dans $H^{1/2}$ , puis sous une hypothèse affaiblie.

Le sujet, partie par partie

Notations, rappels et Partie I — Exercices préliminaires p. 1–3

Théorème de Weierstrass · Transformées de Fourier et de Laplace · Convergence uniforme et normale · Compacité · Problème des moments — théorème de Dini, moments nuls, transformée de Fourier continue bornée, théorème d'Arzelà-Ascoli, théorème de Plancherel

Partie II — Autour de la transformée de Laplace p. 3–4

Transformées de Fourier et de Laplace · Analyse complexe · Équations linéaires d'ordre 2 · Intégrales à paramètre · Théorème de Weierstrass · Problème des moments — transformée de Laplace, abscisse de sommabilité, fonction holomorphe, prolongement méromorphe, injectivité de la transformée de Laplace

Partie III — Transformée de Fourier en dimension 1 p. 4–5

Transformées de Fourier et de Laplace · Analyse complexe · Distributions · Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Équations linéaires d'ordre 2 — transformée de Fourier d'une gaussienne, intégrale sur un contour, classe de Schwartz, solution faible, théorème de Plancherel

Partie IV — Transformée de Fourier en dimension 2 p. 5

Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales multiples · Densité · Continuité — lemme de Riemann-Lebesgue, gaussienne en dimension 2, uniforme continuité, fonction à support compact

Partie V — Étude d'un espace de Hilbert p. 5–6

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Transformées de Fourier et de Laplace · Compacité · Intégrales multiples · Convergence uniforme et normale — espace de Sobolev, espace de Hilbert, suite de Cauchy, équicontinuité, théorème d'Arzelà-Ascoli, relative compacité dans $L^2$

Partie VI — Une propriété de régularisation p. 6–8

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Transformées de Fourier et de Laplace · Intégrales multiples · Distributions · Compacité — lemme de moyenne cinétique, transformée de Fourier partielle, dérivée au sens faible, changement de variables orthogonal, régularité $H^{1/2}$

Partie VII — Une propriété de compacité p. 8–9

Espaces de Hilbert et espaces fonctionnels · Compacité · Transformées de Fourier et de Laplace · Convergence uniforme et normale · Théorie de la mesure — théorème de Dini, fonction plateau, relative compacité dans $L^2$ , mesure de Lebesgue, ensemble négligeable

Dans l'édifice

Densité des fonctions en escalier et continuité des translations Transformée de Fourier des fonctions intégrables Formule d'inversion de Fourier Théorème de Plancherel Convergence uniforme et intégrale des fonctions complexes Compacité Analyse complexe Dérivabilité complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Systèmes linéaires et exponentielle de matrices Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Applications linéaires continues et dual topologique Espaces de Hilbert et théorème de projection Familles orthonormales et bases hilbertiennes Les espaces L¹ et L² et le théorème de Riesz-Fischer Fonctions bornées, fonctions continues, suites sommables Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Intérieur, adhérence Continuité Théorème des valeurs intermédiaires Théorème de Heine Tribus et tribu borélienne Mesures et premières propriétés La mesure de Lebesgue sur ℝ Fonctions mesurables