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Agrégation externe 2019 — Analyse et probabilités

Points critiques de polynômes aléatoires · 13 pages

Le sujet montre que, pour un polynôme $P_n$ dont les $n$ racines sont des variables aléatoires indépendantes de même loi $\mu$ , la mesure empirique des racines de $P_n'$ converge vers $\mu$ (en probabilité, contre toute fonction test lisse à support compact). Il prépare ce résultat par l'étude du Laplacien au sens des distributions ( $\Delta \ln|z| = 2\pi\, \delta_0$ , d'où $\Delta \ln|f| = 2\pi \sum \delta$ des zéros pour $f$ holomorphe), la résolution du problème de Dirichlet sur le disque par le noyau de Poisson et la formule de Poisson-Jensen ; il traite d'abord le cas de racines sur le cercle unité de loi non uniforme (critère de Weyl, théorème de Rouché sous forme d'intégrale de $f'/f$ ), puis le cas général par un théorème de convergence dominée en probabilité.

Le sujet, partie par partie

Notations et Partie I — Des inégalités utiles pour la suite p. 1–2

Inégalités classiques · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Inégalité de Cauchy-Schwarz — inégalité de Markov, partie positive du logarithme, $\ln_+$ et $\ln_-$ , inégalité de Cauchy-Schwarz discrète, convergence presque sûre

Partie II — Solutions élémentaires du Laplacien en dimensions 1 et 2 p. 2–5

Distributions · Fonctions harmoniques · Analyse complexe · Intégrales multiples · Équations aux dérivées partielles · Espaces vectoriels et dimension — Laplacien au sens des distributions, masse de Dirac, solution élémentaire, fonction harmonique, logarithme de $|z|$ , fonctions affines par morceaux, zéros d'une fonction holomorphe, formule de Green

Partie III — Problème de Dirichlet sur le disque et formule intégrale de Poisson p. 5–6

Fonctions harmoniques · Convergence des séries de Fourier · Analyse complexe · Compacité · Points critiques et hessienne · Intégrales à paramètre — noyau de Poisson, problème de Dirichlet, principe du maximum, fonction harmonique, théorème de Fejér, polynôme trigonométrique

Partie IV — Formule de Poisson-Jensen p. 6–7

Analyse complexe · Fonctions harmoniques · Intégrales à paramètre — formule de Poisson-Jensen, fonction méromorphe, zéros et pôles, logarithme du module, fonction harmonique

Partie V — Points critiques de polynômes aléatoires à racines sur le cercle unité p. 7–9

Équirépartition · Analyse complexe · Lois des grands nombres · Racines et relations coefficients-racines · Théorème de Weierstrass · Irrationalité et approximation diophantienne · Convergence uniforme et normale · Séries entières · Théorie de la mesure — suite équidistribuée, critère de Weyl, loi forte des grands nombres, principe de l'argument, théorème de Rouché, zéros de la dérivée d'un polynôme, mesure empirique

Partie VI — Points critiques de polynômes aléatoires, cas général p. 9–13

Théorie de la mesure · Lois des grands nombres et théorèmes limites · Racines et relations coefficients-racines · Distributions · Inégalités de Markov et de Bienaymé-Tchebychev · Analyse complexe · Convergence dominée · Intégrales multiples · Lois des grands nombres — convergence en probabilité, bornée en probabilité, convergence dominée, mesure de Lebesgue, théorème de Fubini, formule de Poisson-Jensen, mesure empirique des points critiques

Dans l'édifice

Espaces vectoriels normés et espaces de Banach Espérance, variance et inégalités Espaces de Hilbert et théorème de projection Applications linéaires continues et dual topologique Transformée de Fourier des fonctions intégrables Fonctions de classe Cᵏ Dérivabilité complexe Analyse complexe Formule intégrale de Cauchy Théorème de Liouville et d'Alembert-Gauss Principe des zéros isolés Théorèmes de Tonelli et de Fubini Tribu produit et mesure produit Espaces vectoriels et sous-espaces Familles libres, génératrices, bases Dimension d'un espace vectoriel Sommes directes, supplémentaires, projecteurs Riemann-Lebesgue et critère de Dini Noyaux de Dirichlet et de Fejér, théorème de Fejér Compacité Applications différentiables Théorème de Schwarz et intégrales à paramètre Théorème de convergence dominée Intégrale de Riemann Loi faible des grands nombres et théorème de Weierstrass Loi forte des grands nombres Anneaux de polynômes Densité des fonctions en escalier et continuité des translations ℚ n'a pas la propriété de la borne supérieure Un corps ordonné complet est archimédien